행렬 계산

개요

행렬 계산(matrix calculation)은 선형대수학에서 행렬과 벡터를 대상으로 하는 다양한 연산을 말한다. 기본적인 연산으로는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치, 역행렬 등이 있으며, 응용 수학과 공학, 물리학, 컴퓨터 과학 전반에서 중요한 도구로 사용된다.

주요 연산

행렬 덧셈과 뺄셈

같은 크기의 행렬끼리 대응하는 원소를 더하거나 빼는 연산이다.

예)

1	2
3	4

+

5	6
7	8

=

6	8
10	12

스칼라 곱

행렬의 모든 원소에 같은 수(스칼라)를 곱하는 연산이다.

예) 2 ×

1	-3
0	4

=

2	-6
0	8

행렬 곱

두 행렬 A(m×n), B(n×p)에 대해 정의되며, 결과는 (m×p) 크기의 행렬이 된다.

예)

1	2
3	4

×

5	6
7	8

=

19	22
43	50

아다마르 곱 (원소별 곱)

같은 크기의 행렬에서 위치가 같은 원소끼리 곱하는 방식.

예)

1	2
3	4

∘

5	6
7	8

=

5	12
21	32

내적 (Dot product)

두 벡터의 대응 원소를 곱해 모두 더한 값. 결과는 스칼라이다.

예) (1,2,3) · (4,5,6) = 32

외적 (Outer product)

두 벡터를 곱해 행렬을 만드는 연산.

예) (1,2,3)^T × (4,5) =

4	5
8	10
12	15

행렬-벡터 곱

행렬과 열 벡터를 곱해 새로운 벡터를 만드는 연산. 선형변환을 나타낸다.

예)

1	2	3
4	5	6

× (1,0,-1)^T = (-2, -2)^T

크로네커 곱

두 행렬을 블록 행렬 형태로 확장하는 연산. A ⊗ B 로 표기한다.

예)

1	2
3	4

⊗

0	5
6	7

=

0	5	0	10
6	7	12	14
0	15	0	20
18	21	24	28

컨볼루션

신호 처리와 딥러닝에서 많이 쓰이는 연산으로, 한쪽을 뒤집고 슬라이딩하며 곱한 뒤 더하는 방식이다.

예) [1,2,3] * [0,1] = [0,1,2,3]

응용

• 컴퓨터 그래픽스에서 회전, 이동, 확대/축소 같은 좌표 변환
• 통계학에서 공분산 행렬 계산
• 딥러닝에서 가중치 행렬과 입력 벡터 연산
• 물리학에서 선형 방정식 해 구하기

같이 보기

• 선형대수학
• 벡터 연산
• 행렬식
• 역행렬
• 고유값과 고유벡터