Argmax
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argmax(argument of the maximum, 줄여서 “arg max” 또는 “argmax”)는 함수가 최댓값을 갖는 지점(변수의 값)을 가리키는 연산자이다.
정의[편집 | 원본 편집]
\(\arg\max\)는 주어진 함수 \(f: X \to \mathbb{R}\)와 부분집합 \(S \subseteq X\)에 대해, \[ \arg\max_{x \in S} f(x) = \{x \in S \mid f(x) \ge f(s) \text{ for all } s \in S\} \] 로 정의된다. 즉, 정의역 \(S\) 내에서 함수 \(f\)의 값이 최대가 되는 모든 \(x\)의 집합을 의미한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- \(\arg\max\)는 최대값을 갖는 모든 지점을 포함한 집합이다.
- 최댓값이 하나만 존재하면, \(\arg\max\)는 단일 원소 집합이 된다.
- 최댓값이 여러 지점에서 같으면, 해당 지점 모두가 포함된다.
- 함수가 최대값을 갖지 않으면 \(\arg\max\)는 공집합이 된다.
예시[편집 | 원본 편집]
- \(\arg\max_{x \in \mathbb{R}} (-x^2) = \{0\}\)
- \(\arg\max_{x \in \{1, 2, 3\}} (5) = \{1, 2, 3\}\)
- (모든 지점에서 함수값이 동일한 경우)
응용[편집 | 원본 편집]
- 기계학습(Machine Learning): 분류 모델의 출력 확률 벡터 \(\hat{y}\)에 대해, \(\arg\max \hat{y}\)는 가장 높은 확률을 갖는 클래스의 인덱스를 반환한다.
- 정보 검색(IR): 검색 결과의 점수(score)가 주어졌을 때, 가장 높은 점수를 갖는 문서의 인덱스를 찾는 데 사용된다.
- 통계학: 최대우도추정(MLE)에서 우도함수를 최대로 만드는 파라미터를 찾기 위해 \(\arg\max\)가 사용된다.
