선형대수학

선형대수학(線形代數學, 영어: Linear algebra)은 벡터, 행렬, 선형사상 등 선형적인 구조와 그 성질을 다루는 수학의 한 분야이다. 현대 수학과 공학, 물리학, 통계학, 컴퓨터 과학 등 다양한 학문 분야에서 기초적이면서도 핵심적인 역할을 한다.

개요

선형대수학은 주로 선형 방정식의 해법, 벡터 공간의 구조, 행렬 연산, 고유값과 고유벡터, 내적과 직교성 등의 주제를 다룬다. 특히 고차원 공간을 다루는 데에 있어 기초적인 도구로서 사용된다.

역사

• 고대 바빌로니아와 중국에서는 이미 연립일차방정식 풀이법이 사용되었다.
• 17세기 르네상스 시대에 좌표기하학의 발전과 함께 체계적으로 다루어지기 시작하였다.
• 19세기에는 아서 케일리(Arthur Cayley), 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton) 등이 행렬과 선형 변환의 이론을 정립하였다.
• 20세기 이후 현대 수학의 여러 분야와 응용 과학에서 필수적인 기반이 되었다.

주요 개념

• 벡터 공간: 벡터와 스칼라 연산이 정의된 집합으로, 선형대수학의 기본 구조이다.
• 선형사상: 한 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 구조를 보존하는 함수.
• 행렬: 선형사상을 구체적으로 나타내는 도구로, 연립방정식의 계수나 기저 변환을 표현한다.
• 행렬식: 정사각 행렬에서 정의되며, 행렬이 가역인지 판정하는 데 사용된다.
• 고유값과 고유벡터: 선형사상에서 변하지 않는 방향과 그 크기를 나타내는 개념.
• 직교성과 내적: 벡터 간의 수직성 및 거리, 각도를 정의하는 개념.

응용

선형대수학은 다양한 분야에서 활용된다.

• 공학: 신호 처리, 제어 이론, 구조 해석
• 컴퓨터 과학: 그래픽스, 머신러닝, 최적화
• 물리학: 양자역학, 고전역학, 상대성이론
• 통계학: 회귀 분석, 주성분 분석(PCA), 다변량 통계

교육

선형대수학은 대학 수준에서 수학, 공학, 자연과학 계열 학생들에게 필수 과목으로 개설된다. 또한 고급 수준에서는 추상적 대수학 및 해석학과의 연계가 강조된다.

같이 보기

• 행렬
• 벡터 공간
• 고유값 문제
• 내적 공간

참고 문헌

• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.
• Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press.