벡터 공간

벡터 공간(英: vector space, 線性空間)은 스칼라(임의의 체의 원소)와의 스칼라 곱 및 벡터 사이의 덧셈 연산이 정의되어 있고, 이 연산들이 일련의 공리들을 만족하는 집합이다.

정의

벡터 공간 V는 다음 조건을 만족하는 구조 (V, +, ·)이다:

• 한 체 F가 주어져 있고, 스칼라는 이 체의 원소들이다.
• 덧셈 연산 +: V × V → V 와 스칼라 배 연산 ·: F × V → V 가 정의되어 있다.
• 이 연산들은 다음 공리들을 만족해야 한다:
  • 교환법칙: u + v = v + u
  • 결합법칙: (u + v) + w = u + (v + w)
  • 덧셈의 항등원: 존재하는 0 ∈ V가 있어 0 + v = v
  • 덧셈의 역원: 모든 v ∈ V에 대해 -v ∈ V가 존재하여 v + (-v) = 0
  • 결합성: a(bv) = (ab)v
  • 항등 스칼라 작용: 1 · v = v (1은 체 F의 곱셈 항등원)
  • 분배법칙 (벡터 쪽): a(u + v) = au + av
  • 분배법칙 (스칼라 쪽): (a + b)v = av + bv

주요 개념

부분공간 (Subspace)

벡터 공간 V의 부분집합 W ⊆ V가 다음 조건을 만족하면 W 또한 벡터 공간이며, 이를 V의 부분공간이라 한다:

• 영벡터 0 ∈ W
• 덧셈에 대해 닫힘: u, v ∈ W이면 u + v ∈ W
• 스칼라 배에 대해 닫힘: a ∈ F, v ∈ W이면 av ∈ W

선형 결합, 스팬, 생성, 독립성

• 주어진 벡터들 v₁, v₂, ..., vₖ ∈ V의 선형 결합은 a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₖvₖ 의 형태이다 (aᵢ ∈ F).
• 이 선형 결합들의 집합을 스팬(span) 또는 생성 공간이라 하며, 기호로는 span{v₁, ..., vₖ}로 쓴다.
• 벡터들이 선형 독립(linearly independent)하다는 것은 a₁v₁ + ... + aₖvₖ = 0 이 성립할 때 계수 a₁, ..., aₖ가 모두 0이어야 함을 의미한다.
• 어떤 벡터들이 벡터 공간 V 전체를 생성하면서 동시에 선형 독립이면, 그 집합을 기저(basis)라고 한다.

차원 (Dimension)

• 벡터 공간 V의 기저를 구성하는 벡터들의 수를 V의 차원이라 한다.

• 모든 기저의 크기는 동일하며, 유한일 수도 무한일 수도 있다.

열공간과 행공간

• 행렬이 주어졌을 때, 그 열 또는 행 벡터들이 생성하는 공간도 벡터 공간이다.
• 열공간(column space)은 행렬의 열벡터들이 생성하는 부분공간이며 ℝᵐ 안에 존재한다 (m은 행 수).
• 행공간(row space)은 행렬의 행벡터들이 생성하는 부분공간이며 ℝⁿ 안에 존재한다 (n은 열 수).
• 행렬의 열공간과 행공간은 모두 벡터 공간의 공리를 만족하며, 그 차원은 열 또는 행 벡터들의 선형 독립성에 따라 결정된다.

예시

• 유클리드 공간 ℝⁿ은 실수 체 ℝ 위의 대표적인 벡터 공간이다.
• 다항식들의 집합 (예: 최고차항이 n 이하인 다항식 전체)
• 고정된 크기의 행렬들의 집합
• 함수 공간 (예: 연속 함수, 미분 가능한 함수 등)
• 영벡터만을 포함하는 공간, 즉 {0}도 벡터 공간이다 (자명 공간)

행렬 예시와 차원 분석 다음 행렬들의 열공간과 행공간 차원은 다음과 같다:

행렬	열공간 차원	행공간 차원
\(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)	2	2
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)	2	2
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)	1	1
\(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)	2	2
\(\begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\)	2	2

• \(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\)는 두 번째 열이 첫 번째 열의 정확한 2배이므로 선형 종속이며, 열공간 차원은 1이다. 행벡터도 같은 관계를 가지므로 행공간도 1차원이다.
• \(\begin{bmatrix}3 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & -2 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\)의 열벡터들은 col₂ = 2 × col₁ − col₃의 관계를 가지므로 선형 종속이며, 열공간 차원은 2이다. 행벡터들 또한 r₃ = 0.7 × r₁ − 0.1 × r₂로 표현될 수 있어 선형 종속이고, 행공간 차원도 2이다.
• 이러한 차원은 가우스 소거법이나 선형 결합 관계를 통해 판별할 수 있으며, 선형 독립한 벡터의 수가 기저의 개수이자 공간의 차원이 된다.

성질 및 정리

• 벡터 공간 사이의 선형 변환은 덧셈과 스칼라 배 연산을 보존하는 함수이다.
• 선형 변환의 핵(kernel)과 상(image)에 대한 차원 정리가 존재한다.
• 벡터 공간 V와 그 부분공간 U가 있을 때 몫공간 V/U도 벡터 공간이다.
• 같은 차원을 갖는 두 벡터 공간은 동형(isomorphic)이다.

응용

• 벡터 공간은 선형대수학의 핵심 개념이며, 물리학, 공학, 통계학, 머신러닝 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.
• 예를 들어, 데이터 분석에서 주성분 분석(PCA), 신호 처리, 선형 회귀, 컴퓨터 그래픽스 등의 기초 이론이 벡터 공간 구조 위에서 정의된다.

같이 보기

• 선형 변환
• 기저와 차원
• 내적 공간
• 노름 공간
• 벡터