행렬

행렬(行列, 영어: Matrix)은 수나 기호를 직사각형 모양으로 배열한 표로, 선형대수학의 기본적인 대상 중 하나이다. 주로 선형 변환을 나타내거나 연립방정식을 다루는 데 사용된다.

개요

행렬은 가로 줄을 행, 세로 줄을 열이라 하며, 특정한 크기(차원)의 수들을 사각형 형태로 배열한 것이다. 행렬의 크기는 행의 수와 열의 수로 표시한다. 예를 들어, 3행 2열 행렬은 3×2 행렬이라고 한다.

표기

행렬은 보통 대문자(예: A, B, C)로 나타내며, 원소는 소문자와 인덱스로 표시한다. 예를 들어 A의 i행 j열 원소는 a_{ij}로 나타낸다.

연산

• 덧셈과 뺄셈: 같은 크기의 행렬끼리는 원소별로 더하거나 뺄 수 있다.
• 스칼라 곱: 행렬의 각 원소에 같은 수(스칼라)를 곱하는 연산이다.
• 행렬 곱: A가 m×n 행렬이고 B가 n×p 행렬일 때, AB는 m×p 행렬로 정의된다.
• 전치 행렬: 행과 열을 서로 바꾼 행렬.
• 역행렬: 정사각 행렬 A에 대해, A와 곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬이 존재하면 이를 A의 역행렬이라 한다.
• 행렬식: 정사각 행렬에 대해 정의되는 스칼라 값으로, 가역성 및 선형사상에 관한 중요한 정보를 담고 있다.

특별한 행렬

• 단위행렬: 대각 원소가 모두 1이고, 나머지 원소는 0인 정사각 행렬.
• 영행렬: 모든 원소가 0인 행렬.
• 대각행렬: 주대각선 이외의 원소가 모두 0인 행렬.
• 대칭행렬: 전치 행렬과 자기 자신이 같은 정사각 행렬.
• 직교행렬: 전치 행렬이 역행렬과 같은 행렬.
• 희소행렬: 대부분의 원소가 0인 행렬.

응용

행렬은 다양한 분야에서 응용된다.

• 선형대수학: 벡터 공간의 선형사상 표현
• 컴퓨터 그래픽스: 2D, 3D 변환 및 투영
• 물리학: 양자역학에서의 해밀토니언 표현, 상태 벡터 변환
• 통계학: 공분산 행렬, 데이터 분석
• 인공지능: 신경망의 가중치 표현

같이 보기

• 선형대수학
• 벡터 공간
• 고유값 문제
• 내적 공간

참고 문헌

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press.
• Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks Cole.