벡터 공간

벡터 공간(영어: Vector space)은 벡터라 불리는 원소들의 집합으로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱이 정의되어 있으며 특정 공리들을 만족하는 대수적 구조이다. 선형대수학에서 핵심적인 개념으로, 다양한 수학적 구조와 응용 분야에서 기본적인 틀을 제공한다.

정의

체(field) F 위의 벡터 공간 V는 다음 조건을 만족하는 집합과 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱)으로 정의된다.

• V는 F의 원소에 대한 스칼라 곱과 자기 자신에 대한 덧셈이 정의되어 있다.
• 모든 벡터 u, v, w ∈ V와 스칼라 a, b ∈ F에 대해 다음이 성립한다.
  • (u + v) + w = u + (v + w) (결합법칙)
  • u + v = v + u (교환법칙)
  • 0 ∈ V가 존재하여 u + 0 = u
  • 모든 u ∈ V에 대해 -u ∈ V가 존재하여 u + (-u) = 0
  • a(bu) = (ab)u
  • 1u = u (1은 체 F의 단위원소)
  • (a + b)u = au + bu
  • a(u + v) = au + av

예시

• 실수 좌표 공간 R^n은 전형적인 벡터 공간이다.
• 다항식의 집합은 계수 체 위에서 벡터 공간을 이룬다.
• 연속 함수의 집합은 적절한 스칼라 연산으로 벡터 공간을 구성한다.
• 행렬의 집합 역시 벡터 공간이 될 수 있다.

기저와 차원

• 기저는 벡터 공간을 생성하는 선형독립 벡터들의 집합이다.
• 차원은 한 벡터 공간의 기저를 이루는 벡터들의 수를 의미하며, 벡터 공간의 크기나 자유도의 척도로 사용된다.

부분공간

벡터 공간 V의 부분집합 U가 V의 연산에 대해 닫혀 있고, V와 같은 공리를 만족하면 이를 부분공간이라 한다. 예를 들어, R^3에서 원점을 지나는 직선과 평면은 부분공간이다.

선형독립과 종속

• 벡터 집합이 선형독립이면, 그 집합 내 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.
• 선형종속 집합은 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다.

응용

벡터 공간 개념은 수학뿐 아니라 여러 분야에서 활용된다.

• 물리학: 힘, 속도, 전자기장 등의 물리량을 표현
• 컴퓨터 과학: 정보 검색, 자연어 처리, 그래픽스
• 통계학: 다변량 분석, 주성분 분석
• 공학: 제어 이론, 신호 처리

같이 보기

• 선형대수학
• 행렬
• 고유값 문제
• 내적 공간

참고 문헌

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer.
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.