닫힌 꼴 도함수
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닫힌 꼴 도함수(영어: closed-form derivative)는 어떤 함수의 도함수가 사칙연산, 거듭제곱, 지수·로그·삼각함수 등과 같은 기본 함수들의 유한한 조합으로 표현될 수 있는 경우를 말한다. 즉, 미분 결과가 무한급수, 적분 기호, 특수 함수와 같이 닫힌 꼴(closed form)로 보기 어려운 표현을 필요로 하지 않을 때 사용되는 개념이다.
정의[편집 | 원본 편집]
닫힌 꼴(closed form)은 수학에서 잘 알려진 기본 함수들과 유한한 수의 연산만을 사용하여 어떤 수식이나 해를 표현할 수 있을 때 사용되는 개념이다. 이와 유사하게 닫힌 꼴 도함수는 주어진 함수의 도함수가 이러한 닫힌 꼴 함수로 나타낼 수 있을 때를 의미한다.
예시[편집 | 원본 편집]
- 다항식: f(x) = x³ + 2x의 도함수는 f′(x) = 3x² + 2로 닫힌 꼴이다.
- 삼각함수: f(x) = sin x의 도함수는 f′(x) = cos x로 닫힌 꼴이다.
- 지수함수의 합성: f(x) = e^(x²)의 도함수는 f′(x) = 2x·e^(x²)로 닫힌 꼴이다.
닫힌 꼴이 아닌 경우[편집 | 원본 편집]
모든 함수의 도함수가 닫힌 꼴로 표현되는 것은 아니다. 예를 들어,
- 적분으로 정의되는 함수 F(x) = ∫0^x e^(-t²) dt는 닫힌 꼴로 나타낼 수 없고, 에러 함수(erf)로 정의된다. 하지만 그 도함수 F′(x) = e^(-x²)는 닫힌 꼴이다.
- 특수 함수나 무한급수로 정의되는 함수들은 그 도함수가 닫힌 꼴로 표현되지 않을 수 있다.
관련 개념[편집 | 원본 편집]
- 닫힌 꼴 해(closed-form solution)
- 기호 미분(symbolic differentiation)
- 특수 함수
