삼각 함수
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삼각 함수(Trigonometric functions, 三角函數)는 각도의 크기와 직각삼각형의 변 사이의 비율 또는 단위원 위의 좌표를 이용하여 정의되는 함수로, 주기성과 주기함수의 성질을 갖는다.
1 개요[편집 | 원본 편집]
삼각 함수는 기하학, 해석학, 공학, 물리학 등에서 광범위하게 사용되는 기본 함수 집합이다. 원래는 직각삼각형의 변의 길이 비로 정의되었으며, 이후 단위원을 이용하여 모든 실수에 대해 확장되었다. 대표적인 삼각 함수로는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)가 있다.
2 정의[편집 | 원본 편집]
2.1 직각삼각형을 이용한 정의[편집 | 원본 편집]
각 θ를 포함하는 직각삼각형에서 다음과 같이 정의된다.
- sin(θ) = 밑변에 대한 높이 / 빗변
- cos(θ) = 밑변 / 빗변
- tan(θ) = 높이 / 밑변 = sin(θ) / cos(θ)
2.2 단위원을 이용한 정의[편집 | 원본 편집]
반지름이 1인 단위원 위의 각 θ에 대해 다음과 같이 정의한다.
- sin(θ) = y좌표
- cos(θ) = x좌표
- tan(θ) = y / x (단, cos(θ) ≠ 0일 때)
3 주요 삼각 함수[편집 | 원본 편집]
- 사인(sin)
- 코사인(cos)
- 탄젠트(tan)
- 코시컨트(csc) = 1/sin
- 시컨트(sec) = 1/cos
- 코탄젠트(cot) = 1/tan
4 성질[편집 | 원본 편집]
- 주기성: sin과 cos는 주기 2π, tan은 주기 π를 가진다.
- 홀짝성: sin과 tan은 홀수 함수, cos은 짝수 함수이다.
- 최대/최소값: sin과 cos의 값은 항상 −1에서 1 사이이다.
- 덧셈 정리:
sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
5 삼각 함수의 그래프[편집 | 원본 편집]
삼각 함수는 주기적이며 파형으로 나타난다. 예를 들어 sin(x)의 그래프는 진동하는 곡선이며, 주기 2π, 진폭 1, 평형선 y = 0을 가진다.
6 응용[편집 | 원본 편집]
삼각 함수는 다음과 같은 분야에 활용된다.
- 파동, 진동, 주기적 현상의 해석 (예: 사인파)
- 기하학에서 각도 및 거리 계산
- 건축 및 토목에서 측량 및 구조 분석
- 물리학에서 운동, 전자기파 분석
7 같이 보기[편집 | 원본 편집]
8 참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Gelfand, I. M., & Saul, M. (1991). *Trigonometry*. Birkhäuser.
