선형 결합
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선형 결합(linear combination)은 여러 개의 수, 벡터, 함수, 확률 변수 등에 대해 각 항에 어떤 상수를 곱하고 그것들을 더한 형태를 의미한다. 수학 전반과 통계학, 선형대수학, 확률이론 등에서 기본적인 개념으로 널리 사용된다.
1 정의[편집 | 원본 편집]
어떤 대상들 X₁, X₂, ..., Xₙ과 실수 계수 a₁, a₂, ..., aₙ이 있을 때, 다음과 같은 형태를 그들의 선형 결합이라고 한다:
a₁X₁ + a₂X₂ + ... + aₙXₙ
- 여기서 a₁, ..., aₙ은 계수(coefficients)
- X₁, ..., Xₙ은 실수, 벡터, 함수, 확률 변수 등일 수 있다
- 항의 개수 n은 유한해야 하며, 곱해지는 계수는 반드시 상수여야 한다
2 예시[편집 | 원본 편집]
- 실수의 선형 결합
- 2 × 3 + 5 × (−1) = 6 − 5 = 1
- 벡터의 선형 결합
- v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1)
- a₁v₁ + a₂v₂ = (a₁, a₂) → 2차원 벡터 공간의 모든 벡터를 생성 가능
- 확률 변수의 선형 결합
- X₁: 수익률, X₂: 리스크 지표
- 포트폴리오 수익 = 0.7X₁ + 0.3X₂
3 선형성과의 관계[편집 | 원본 편집]
- 기댓값, 공분산, 분산 등의 통계량은 선형 결합에 대해 특별한 성질(선형성, 이차형성 등)을 가진다.
- 예: 기댓값의 선형성
- E[a₁X₁ + a₂X₂] = a₁E[X₁] + a₂E[X₂]
4 활용[편집 | 원본 편집]
- 통계: 회귀분석에서 독립 변수들의 선형 결합으로 종속 변수를 설명
- 선형대수학: 벡터 공간과 기저의 정의
- 확률: 다변량 확률 변수의 조합 분석
- 데이터 과학: 주성분 분석(PCA), 특성 선택 등
5 같이 보기[편집 | 원본 편집]
6 참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press
- Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. Duxbury Press
