아핀 변환

아핀 변환(Affine transformation)은 선형 변환과 평행 이동을 조합한 기하학적 변환이다. 벡터 공간에서의 점, 선, 도형 등을 변환할 때 직선성, 평행성, 비율 등을 보존한다.

정의

아핀 변환은 한 점 x에 대해 다음과 같은 형태로 표현된다. y = A * x + b 여기서 A는 선형 변환 행렬이며, b는 이동 벡터이다. 즉, 선형 변환 뒤에 평행 이동이 적용되는 구조이다. 아핀 변환은 거리나 각도는 보존하지 않지만, 직선과 평행성, 중점 등의 기하학적 성질은 보존한다.

성질

아핀 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

• 직선성을 보존한다. 변환 전 직선은 변환 후에도 직선이다.
• 평행성을 보존한다. 평행한 선은 변환 후에도 평행하다.
• 비율을 보존한다. 예를 들어, 한 선분의 중점은 변환 후에도 중점이다.
• 거리나 각도는 일반적으로 보존되지 않는다.

표현 방법

일반 좌표계에서의 표현

아핀 변환은 다음과 같이 표현된다. y = A * x + b

• A: n x n 크기의 선형 변환 행렬
• b: 이동 벡터

동차 좌표계(Homogeneous Coordinates) 표현

아핀 변환은 동차 좌표계를 이용하여 하나의 행렬 곱으로 표현할 수 있다. 예를 들어 2차원에서는 다음과 같다.

[ x' ]     [ a11  a12  b1 ]   [ x ]
[ y' ]  =  [ a21  a22  b2 ] * [ y ]
[  1 ]     [  0    0    1 ]   [ 1 ]

종류

아핀 변환에는 여러 가지 구체적인 변환이 포함된다.

• 이동(Translation)
• 확대/축소(Scaling)
• 회전(Rotation)
• 전단(Shear)
• 반사(Reflection)

이러한 변환들은 서로 결합되어 복합적인 변환을 구성할 수 있다.

응용

아핀 변환은 다양한 분야에서 활용된다.

• 컴퓨터 그래픽스: 객체의 변형, 위치 조정 등에 사용
• 영상 처리: 영상 정합, 스티칭, 왜곡 보정 등에 사용
• 로봇공학: 물체의 자세 추정 및 이동
• 딥러닝: 신경망의 선형 계층(linear layer)과 bias 항은 아핀 변환의 구조와 동일함

같이 보기

• 선형 변환
• 행렬
• 컴퓨터 그래픽스
• 영상 처리
• 딥러닝