유클리드 기하학

유클리드 기하학(Euclidean geometry)은 고대 그리스 수학자 유클리드가 저술한 《원론(Elements)》에서 정립된 기하학 체계로, 평면과 공간에서의 점, 직선, 각, 도형의 성질을 공리와 정리를 통해 논리적으로 전개한 고전 기하학의 기반 체계이다.

• 유클리드 기하학 = 우리가 처음 배우는 '직선, 삼각형, 각도, 거리' 중심의 평면 기하학.

• 일상적인 대부분의 기하학 문제는 유클리드 방식으로 다룬다.

1 개념

• 유클리드 기하학은 5개의 기본 공리를 바탕으로 전개됨
• 직선과 각, 도형의 크기와 모양 등 거리와 각도 개념을 포함함
• 우리가 일상적으로 인식하는 평면상의 기하학이 유클리드 기하학에 해당함

2 유클리드의 다섯 공준

1. 두 점 사이에는 하나의 직선이 존재한다.
2. 직선은 한정 없이 양쪽으로 뻗는다.
3. 모든 선분은 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 한 직선 밖의 한 점에서 그 직선에 평행한 다른 직선은 단 하나뿐이다. (평행선 공준)

3 주요 성질

• 삼각형의 내각의 합은 항상 180도
• 평행선은 무한히 만나지 않음
• 동일한 선분을 연장해도 구조가 변하지 않음
• 닮음, 합동, 면적 등의 개념이 정의됨

4 주요 도형과 원리

• 삼각형: 합동 조건 (SSS, SAS, ASA, AAS)
• 원: 중심, 반지름, 원주각, 접선
• 직선, 평행선, 수선, 중선
• 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 a² + b² = c²

5 유클리드 기하학 vs 비유클리드 기하학

구분	유클리드 기하학	비유클리드 기하학
평행선 공준	하나의 평행선만 존재	0개 또는 무한 개 존재 가능
공간의 곡률	0 (평면)	양수(구면), 음수(쌍곡면)
예시	평면 기하학	구면 기하학, 쌍곡 기하학

6 현대 수학에서의 위치

• 유클리드 기하학은 기하학, 대수학, 해석기하학 등 다양한 분야의 기초
• 수학뿐 아니라 물리학, 공학, 컴퓨터그래픽스 등의 분야에서도 핵심 개념으로 사용됨

7 같이 보기

• 비유클리드 기하학
• 기하학
• 해석기하학
• 피타고라스 정리
• 공리계

8 참고 문헌

• 유클리드. 《원론》 (Elements)
• Greenberg, M. J. (2008). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. W. H. Freeman
• Courant & Robbins. (1996). What is Mathematics?