신뢰구간
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- Confidence Interval; 신뢰구간
- 모수가 포함될 것으로 기대되는 구간을 표본으로부터 추정한 것
| 구분 | 점추정 | 구간추정 |
|---|---|---|
| 결과 | 하나의 값 (예: 표본평균) | 하한과 상한을 가진 구간 |
| 정보량 | 추정값만 있다 | 추정의 정확도(오차)와 신뢰수준을 함께 준다 |
| 기준 | 불편성·효율성·일치성·충분성을 갖춘 추정량을 쓴다 | 점추정값 ± (신뢰계수 × 표준오차) |
| 한계 | 얼마나 믿을 수 있는지 알 수 없다 | 구간이 넓으면 실용성이 떨어진다 |
모집단이 정규분포를 따르고 모분산을 알 때 모평균의 신뢰구간은
- x̄ ± z(α/2) × σ/√n
| 신뢰수준 | z 값 |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.58 |
- 신뢰수준을 높이면 z 값이 커지므로 구간이 넓어진다
- 표본 수 n 이 커지면 표준오차가 줄어 구간이 좁아진다
- 모분산을 모르고 표본이 작으면 z 대신 t 분포를 쓴다
- 95% 신뢰구간은 "이 구간에 모평균이 있을 확률이 95%"가 아니다. 같은 방식으로 표본추출과 구간추정을 100번 반복하면 그중 약 95개의 구간이 모평균을 포함한다는 뜻이다
- 따라서 개별 신뢰구간은 모평균을 포함하지 않을 수 있다
- 같은 모집단에서 같은 방식으로 다시 표본을 뽑으면 표본평균이 달라지므로 신뢰구간도 달라진다. 매번 동일한 값이 나오지 않는다
신뢰수준을 바르게 해석하려면 어느 것이 정해진 값이고 어느 것이 표본마다 달라지는지 구분해야 한다.
| 대상 | 성격 | 신뢰구간과의 관계 |
|---|---|---|
| 모수(모평균 μ) | 알 수 없지만 하나로 정해진 값 | 구간에 들어 있거나 들어 있지 않거나 둘 중 하나다 |
| 추정값(표본평균 x̄) | 표본마다 달라진다 | 구간의 중심이므로 언제나 구간 안에 있다 |
| 신뢰구간 | 표본마다 달라지는 확률적인 구간 | 반복해서 만들면 그중 신뢰수준만큼의 비율이 모수를 포함한다 |
- 신뢰수준은 모수가 정해져 있을 때, 같은 방식으로 만든 여러 신뢰구간 가운데 모수를 포함하는 구간의 비율(확률)이다.
- "신뢰수준 95% 는 추정값이 신뢰구간에 존재할 확률이 95% 라는 뜻이다" 는 틀리다. 추정값은 구간의 중심이라 항상 구간 안에 있고, 95% 는 구간이 모수를 포함할 확률을 말한다.
모분산을 알 때 신뢰구간의 폭은 2 × z(α/2) × σ/√n 이다.
- 표본 크기 n 이 커지면 σ/√n 이 작아져 구간이 좁아진다. 정보가 많을수록 추정이 더 정밀하다는 뜻이다. n 을 4배로 늘리면 폭은 절반이 된다.
- 신뢰수준을 높이면 z 값이 커져(95% 1.96 → 99% 2.58) 구간이 넓어진다. 99% 신뢰구간이 95% 신뢰구간보다 길다.
- 넓은 구간은 모수를 포함할 가능성이 크지만 그만큼 덜 구체적이다. 신뢰수준과 정밀도는 서로 맞바꾸는 관계다.