아핀 변환
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아핀 변환(Affine transformation)은 선형 변환과 평행 이동을 조합한 기하학적 변환이다. 벡터 공간에서의 점, 선, 도형 등을 변환할 때 직선성, 평행성, 비율 등을 보존한다.
정의[편집 | 원본 편집]
아핀 변환은 한 점 x에 대해 다음과 같은 형태로 표현된다. y = A * x + b 여기서 A는 선형 변환 행렬이며, b는 이동 벡터이다. 즉, 선형 변환 뒤에 평행 이동이 적용되는 구조이다. 아핀 변환은 거리나 각도는 보존하지 않지만, 직선과 평행성, 중점 등의 기하학적 성질은 보존한다.[1]
성질[편집 | 원본 편집]
아핀 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 직선성을 보존한다. 변환 전 직선은 변환 후에도 직선이다.
- 평행성을 보존한다. 평행한 선은 변환 후에도 평행하다.
- 비율을 보존한다. 예를 들어, 한 선분의 중점은 변환 후에도 중점이다.
- 거리나 각도는 일반적으로 보존되지 않는다.
표현 방법[편집 | 원본 편집]
일반 좌표계에서의 표현[편집 | 원본 편집]
아핀 변환은 다음과 같이 표현된다. y = A * x + b
- A: n x n 크기의 선형 변환 행렬
- b: 이동 벡터
동차 좌표계(Homogeneous Coordinates) 표현[편집 | 원본 편집]
아핀 변환은 동차 좌표계를 이용하여 하나의 행렬 곱으로 표현할 수 있다. 예를 들어 2차원에서는 다음과 같다.
[ x' ] [ a11 a12 b1 ] [ x ] [ y' ] = [ a21 a22 b2 ] * [ y ] [ 1 ] [ 0 0 1 ] [ 1 ]
종류[편집 | 원본 편집]
아핀 변환에는 여러 가지 구체적인 변환이 포함된다.
- 이동(Translation)
- 확대/축소(Scaling)
- 회전(Rotation)
- 전단(Shear)
- 반사(Reflection)
이러한 변환들은 서로 결합되어 복합적인 변환을 구성할 수 있다.
응용[편집 | 원본 편집]
아핀 변환은 다양한 분야에서 활용된다.
- 컴퓨터 그래픽스: 객체의 변형, 위치 조정 등에 사용
- 영상 처리: 영상 정합, 스티칭, 왜곡 보정 등에 사용
- 로봇공학: 물체의 자세 추정 및 이동
- 딥러닝: 신경망의 선형 계층(linear layer)과 bias 항은 아핀 변환의 구조와 동일함[2]
