이항 계수
IT 위키
이항 계수(Binomial Coefficient)는 조합(Combination)에서 n개의 원소 중 r개를 선택하는 방법의 수를 나타내며, 수학적으로 C(n, r) 또는 (n choose r)로 표현된다. 이항 계수는 이항 정리와 파스칼의 삼각형에서 중요한 역할을 한다.
1 개요[편집 | 원본 편집]
이항 계수 C(n, r)은 다음과 같이 정의된다.
- C(n, r) = nCr = n! / (r!(n - r)!)
여기서,
- n! = n × (n-1) × ... × 1 (계승, Factorial)
- r! = r × (r-1) × ... × 1
- (n - r)! = (n - r) × (n - r - 1) × ... × 1
이항 계수는 조합의 개수를 나타내며, 이는 조합론과 이항 정리에서 중요한 역할을 한다.
2 이항 계수의 예제[편집 | 원본 편집]
몇 가지 예제 값을 계산해보자.
- C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10
- C(6, 3) = 6! / (3!(6-3)!) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20
- C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6
이러한 값들은 파스칼의 삼각형에서도 확인할 수 있다.
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
3 이항 계수의 성질[편집 | 원본 편집]
- 이항 계수의 기본 성질
- C(n, 0) = C(n, n) = 1
- C(n, 1) = C(n, n-1) = n
- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r) (파스칼의 항등식)
- 대칭성
- C(n, r) = C(n, n-r) (예: C(5,2) = C(5,3))
- 이항 정리에서의 역할
- (a + b)n = Σ C(n, r) an-r br
- 각 행의 합
- Σ C(n, r) = 2n
4 이항 계수의 응용[편집 | 원본 편집]
이항 계수는 다양한 분야에서 활용된다.
