파스칼의 삼각형
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파스칼의 삼각형(Pascal’s Triangle)은 이항 계수(Binomial Coefficients)를 삼각형 형태로 배열한 구조로, 조합론과 이항 정리에서 중요한 역할을 한다.
1 개요[편집 | 원본 편집]
파스칼의 삼각형은 다음과 같은 규칙으로 구성된다.
- 삼각형의 첫 번째 행은 1이다.
- 각 행의 첫 번째와 마지막 원소는 1이다.
- 내부의 각 숫자는 바로 위의 두 숫자의 합으로 결정된다.
- n번째 행의 r번째 원소는 이항 계수 C(n, r) = n! / (r!(n-r)!) 값과 동일하다.
2 파스칼의 삼각형 구조[편집 | 원본 편집]
파스칼의 삼각형을 처음 몇 개의 행까지 나열하면 다음과 같다.
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
3 파스칼의 삼각형과 이항 계수[편집 | 원본 편집]
파스칼의 삼각형에서 각 원소는 이항 계수 C(n, r)과 같다.
- C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6 → 파스칼의 삼각형에서 4번째 행, 2번째 열의 값과 동일.
또한, 파스칼의 삼각형은 이항 정리에서 계수로 사용된다.
- (a + b)4 = C(4,0)a4 + C(4,1)a3b + C(4,2)a2b2 + C(4,3)a1b3 + C(4,4)a0b4
- = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
4 파스칼의 삼각형의 성질[편집 | 원본 편집]
파스칼의 삼각형은 여러 가지 중요한 수학적 성질을 가진다.
- 이항 계수 성질
- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)
- 이 공식은 파스칼의 삼각형의 각 항이 위쪽 두 항의 합으로 구성됨을 설명.
- 대칭성
- C(n, r) = C(n, n-r) → 삼각형이 좌우 대칭을 이룸.
- 각 행의 합
- n번째 행의 모든 원소의 합은 2n
- 예: 1 + 2 + 1 = 4, 1 + 3 + 3 + 1 = 8
- 피보나치 수열과의 관계
- 대각선 원소들의 합이 피보나치 수열을 이룸
5 파스칼의 삼각형의 응용[편집 | 원본 편집]
파스칼의 삼각형은 다양한 분야에서 활용된다.
- 이항 정리 - 다항식 전개에서 계수 계산.
- 조합론 - 조합 수 계산에 사용.
- 확률론 - 이항 분포에서 활용.
- 프랙탈 구조 - 시에르핀스키 삼각형과 같은 패턴에서 발견됨.
