팩토리얼

팩토리얼(Factorial)은 양의 정수 n에 대해 1부터 n까지의 모든 정수를 곱한 값을 의미하며, 기호 n!로 표기된다. 이는 조합론, 이항 계수, 확률 이론, 수열 분석 등 다양한 수학적 개념에서 활용된다.

1 정의

팩토리얼은 다음과 같이 정의된다.

• n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 (n ≥ 1)
• 0! = 1 (빈 곱의 값은 1로 정의됨)

예를 들어,

• 1! = 1
• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

2 팩토리얼의 성질

• 재귀적 정의
  • n! = n × (n-1)! (n ≥ 1)
  • 예: 5! = 5 × 4!

• 0!의 정의
  • 0! = 1로 정의됨 (수학적 일관성을 유지하기 위해)

• 팩토리얼의 빠른 증가
  • 팩토리얼은 매우 빠르게 증가하는 함수이며, 큰 값에서 스털링 근사를 사용하여 근사적으로 계산 가능.
  • 예: 10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸

• 이항 계수와의 관계
  • 조합의 공식에서 등장: C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)

3 스털링 근사

팩토리얼은 큰 수에서 빠르게 증가하므로, 근사적으로 계산할 때 스털링 근사(Sterling’s Approximation)를 사용할 수 있다.

• n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

이 근사는 확률론 및 통계학에서 널리 사용된다.

4 팩토리얼의 응용

팩토리얼은 다양한 수학적, 과학적 개념에서 활용된다.

• 조합론
  • 순열: P(n, r) = n! / (n-r)!
  • 조합: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)

• 확률론
  • 경우의 수 계산 (예: 순열, 조합)

• 테일러 급수
  • e^x = Σ (xⁿ / n!)

• 정보 이론
  • 엔트로피 계산과 데이터 압축

5 같이 보기

• 조합 (수학)
• 순열 (수학)
• 이항 계수
• 스털링 근사