도함수
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도함수(導函數, 영어: derivative)는 함수의 입력값이 변할 때 그 함수의 출력값이 변하는 정도를 나타내는 함수이다. 즉, 주어진 함수의 변화율을 다른 함수의 형태로 표현한 것으로, 미분의 기본 개념 중 하나이다.
- 미분(differentiation)은 어떤 함수에 도함수(derivative)를 구하는 과정이고,
- 도함수(derivative)는 그 결과로 얻어진 함수이다.
개요
도함수는 함수의 순간 변화율을 나타내며, 곡선의 접선의 기울기와도 같다. 어떤 함수 f(x)가 주어졌을 때, 도함수 f'(x)는 각 점에서 함수가 얼마나 빠르게 증가하거나 감소하는지를 보여준다.
정의
함수 f(x)의 도함수 f'(x)는 다음 극한으로 정의된다.
- f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
이 정의는 함수가 특정 점에서 미분 가능할 때 성립한다. 도함수가 존재한다는 것은 함수가 그 점에서 연속이며 접선이 존재함을 의미한다.
표기법
도함수는 여러 가지 방법으로 표기된다.
- 라이프니츠 표기법: dy/dx
- 라그랑주 표기법: f'(x)
- 뉴턴 표기법: ẏ (특히 시간에 대한 미분에서 사용)
성질
- 상수 함수의 도함수는 0이다.
- 항등 함수 f(x)=x의 도함수는 1이다.
- 도함수 연산은 선형성을 가진다. 즉, (af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x).
- 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄 법칙 등 다양한 계산 규칙이 존재한다.
예시
- f(x)=x²의 도함수는 f'(x)=2x이다.
- f(x)=sin(x)의 도함수는 f'(x)=cos(x)이다.
- f(x)=e^x의 도함수는 f'(x)=e^x이다.
응용
도함수는 수학뿐 아니라 자연과학과 공학 전반에서 핵심적으로 사용된다.
- 물리학: 위치 함수의 도함수는 속도, 속도의 도함수는 가속도를 나타낸다.
- 경제학: 비용 함수의 도함수는 한계 비용, 수익 함수의 도함수는 한계 수익을 나타낸다.
- 공학: 신호 처리, 제어 이론, 최적화 문제 등에서 중요한 역할을 한다.
