내적 공간

내적 공간(內積空間, 영어: Inner product space)은 벡터 공간에 내적이 정의되어 있는 구조로, 벡터 사이의 길이와 각도를 정의할 수 있게 해준다. 이는 유클리드 공간을 일반화한 개념으로, 해석학, 기하학, 물리학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

정의

체(주로 실수체 또는 복소수체) 위의 벡터 공간 V가 주어졌을 때, 내적 공간은 다음 조건을 만족하는 함수 ⟨·,·⟩: V × V → F와 함께 정의된다. 모든 u, v, w ∈ V와 스칼라 a ∈ F에 대해:

• ⟨u, v⟩ = overline(⟨v, u⟩) (켤레 대칭성, 실수체의 경우 단순 대칭성)
• ⟨au, v⟩ = a⟨u, v⟩ (첫 번째 인자에 대한 선형성)
• ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩
• ⟨v, v⟩ ≥ 0, 그리고 ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0 (양의 정부호성)

성질

• 내적은 벡터의 길이(norm)를 정의한다: ‖v‖ = √⟨v, v⟩.
• 두 벡터 u, v에 대해 ⟨u, v⟩ = 0이면 u와 v는 직교한다.
• 코시–슈바르츠 부등식: |⟨u, v⟩| ≤ ‖u‖‖v‖.

예시

• 유클리드 공간 R^n에서 표준 내적: ⟨x, y⟩ = Σ x_i y_i
• 복소 벡터 공간 C^n에서의 표준 내적: ⟨x, y⟩ = Σ x_i overline(y_i)
• 함수 공간에서의 L^2 내적: ⟨f, g⟩ = ∫ f(x)overline(g(x)) dx

직교성과 직교 기저

내적 공간에서는 벡터 간 직교성을 정의할 수 있다.

• 직교 집합은 모든 서로 다른 벡터 쌍이 직교인 집합이다.
• 직교 기저는 기저 벡터들이 서로 직교하는 기저이다.
• 정규 직교 기저는 각 벡터의 길이가 1인 직교 기저이다.
• 그람-슈미트 과정은 임의의 기저를 정규 직교 기저로 변환하는 방법이다.

응용

• 물리학: 양자역학에서 상태 벡터와 확률 해석
• 수학: 푸리에 급수, 직교 다항식
• 공학: 신호 처리, 통신 이론, 데이터 압축
• 컴퓨터 과학: 머신러닝에서의 벡터 임베딩, 유사도 계산

같이 보기

• 선형대수학
• 벡터 공간
• 행렬
• 고유값 문제

참고 문헌

• Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill.
• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer.