행렬 곱

행렬 곱(matrix multiplication, 行列곱)은 두 개의 행렬에서 정의되는 이항 연산으로, 선형대수학에서 중심적인 개념 중 하나이다. 이는 벡터 공간의 선형 변환을 표현하거나, 연립방정식의 해를 계산하는 데 사용된다.

정의

두 행렬 A와 B에 대하여, A의 열 수와 B의 행 수가 같을 때에만 행렬 곱 AB가 정의된다. A가 m×n 행렬이고, B가 n×p 행렬이라면, 곱 AB는 m×p 크기의 행렬이다. AB의 i행 j열 원소는 다음과 같이 계산된다:

AB[i][j] = A[i][1]×B[1][j] + A[i][2]×B[2][j] + ... + A[i][n]×B[n][j]

성질

• 행렬 곱은 결합법칙을 만족한다: (AB)C = A(BC)
• 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않는다: AB ≠ BA
• 항등행렬 I에 대하여 AI = IA = A
• 영행렬 O와의 곱은 항상 영행렬이다: AO = OA = O

예시

예시 1: 2×3 행렬과 3×2 행렬

A = [ 1  2  3 ]
    [ 4  5  6 ]

B = [  7  8 ]
    [  9 10 ]
    [ 11 12 ]

곱 AB의 각 원소 계산:

AB[1][1] = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58
AB[1][2] = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64
AB[2][1] = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139
AB[2][2] = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154

따라서 행렬 곱 AB는 다음과 같다:

AB = [  58  64 ]

    [ 139 154 ]

예시 2: 1×2 행렬과 2×1 행렬

A = [ 2  3 ]
B = [ 4 ]

   [ 5 ]

AB = [ 2×4 + 3×5 ] = [ 8 + 15 ] = [ 23 ]

예시 3: 2×2 행렬과 항등행렬

A = [ 5  7 ]

   [ 2  6 ]

I = [ 1  0 ]

   [ 0  1 ]

AI = A = [ 5  7 ]

         [ 2  6 ]

예시 4: 3×1 열벡터와 1×3 행벡터

A = [ 1 ]

   [ 2 ]
   [ 3 ]

B = [ 4  5  6 ]
AB = [  1×4  1×5  1×6 ] = [  4   5   6 ]

    [  2×4  2×5  2×6 ] = [  8  10  12 ]
    [  3×4  3×5  3×6 ] = [ 12  15  18 ]

예시 5: 영행렬과의 곱

A = [ 1  2 ]

   [ 3  4 ]

O = [ 0  0 ]

   [ 0  0 ]

AO = [ 1×0 + 2×0  1×0 + 2×0 ] = [ 0  0 ]

     [ 3×0 + 4×0  3×0 + 4×0 ] = [ 0  0 ]

응용

• 선형변환의 합성과 표현
• 연립선형방정식의 해 구하기
• 컴퓨터 그래픽스에서의 좌표 변환
• 통계학과 기계학습에서 회귀분석 및 신경망의 계산

같이 보기

• 선형대수학
• 행렬식
• 역행렬
• 선형변환
• 벡터 공간

참고 문헌

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 2015.
• Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.