행렬 곱: 두 판 사이의 차이
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*영행렬 O와의 곱은 항상 영행렬이다: AO = OA = O | *영행렬 O와의 곱은 항상 영행렬이다: AO = OA = O | ||
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예시 1: 2×3 행렬과 3×2 행렬< | 예시 1: 2×3 행렬과 3×2 행렬 | ||
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곱 AB의 각 원소 계산: | |||
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AB[1][1] = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58 | AB[1][1] = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58 | ||
AB[1][2] = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64 | AB[1][2] = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64 | ||
AB[2][1] = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139 | AB[2][1] = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139 | ||
AB[2][2] = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154 | AB[2][2] = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154 | ||
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따라서 행렬 곱 AB는 다음과 같다: | |||
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AB = [ 58 64 ] | AB = [ 58 64 ] | ||
[ 139 154 ] | [ 139 154 ] | ||
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예시 2: 1×2 행렬과 2×1 행렬 | |||
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A = [ 2 3 ] | A = [ 2 3 ] | ||
B = [ 4 ] | B = [ 4 ] | ||
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AB = [ 2×4 + 3×5 ] = [ 8 + 15 ] = [ 23 ] | AB = [ 2×4 + 3×5 ] = [ 8 + 15 ] = [ 23 ] | ||
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예시 3: 2×2 행렬과 항등행렬 | |||
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A = [ 5 7 ] | A = [ 5 7 ] | ||
[ 2 6 ] | [ 2 6 ] | ||
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AI = A = [ 5 7 ] | AI = A = [ 5 7 ] | ||
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예시 4: 3×1 열벡터와 1×3 행벡터 | |||
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A = [ 1 ] | A = [ 1 ] | ||
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[ 2×4 2×5 2×6 ] = [ 8 10 12 ] | [ 2×4 2×5 2×6 ] = [ 8 10 12 ] | ||
[ 3×4 3×5 3×6 ] = [ 12 15 18 ] | [ 3×4 3×5 3×6 ] = [ 12 15 18 ] | ||
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예시 5: 영행렬과의 곱 | |||
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A = [ 1 2 ] | A = [ 1 2 ] | ||
[ 3 4 ] | [ 3 4 ] | ||
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AO = [ 1×0 + 2×0 1×0 + 2×0 ] = [ 0 0 ] | AO = [ 1×0 + 2×0 1×0 + 2×0 ] = [ 0 0 ] | ||
[ 3×0 + 4×0 3×0 + 4×0 ] = [ 0 0 ] | |||
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==응용== | ==응용== | ||
*선형변환의 합성과 표현 | *선형변환의 합성과 표현 | ||
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*컴퓨터 그래픽스에서의 좌표 변환 | *컴퓨터 그래픽스에서의 좌표 변환 | ||
*통계학과 기계학습에서 회귀분석 및 신경망의 계산 | *통계학과 기계학습에서 회귀분석 및 신경망의 계산 | ||
==같이 보기== | ==같이 보기== | ||
*[[선형대수학]] | *[[선형대수학]] | ||
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*[[선형변환]] | *[[선형변환]] | ||
*[[벡터 공간]] | *[[벡터 공간]] | ||
==참고 문헌== | ==참고 문헌== | ||
*Axler, Sheldon. ''Linear Algebra Done Right''. Springer, 2015. | *Axler, Sheldon. ''Linear Algebra Done Right''. Springer, 2015. | ||
*Strang, Gilbert. ''Introduction to Linear Algebra''. Wellesley-Cambridge Press, 2016. | *Strang, Gilbert. ''Introduction to Linear Algebra''. Wellesley-Cambridge Press, 2016. | ||
==각주== | ==각주== | ||
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2025년 9월 25일 (목) 06:42 기준 최신판
행렬 곱(matrix multiplication, 行列곱)은 두 개의 행렬에서 정의되는 이항 연산으로, 선형대수학에서 중심적인 개념 중 하나이다. 이는 벡터 공간의 선형 변환을 표현하거나, 연립방정식의 해를 계산하는 데 사용된다.
정의[편집 | 원본 편집]
두 행렬 A와 B에 대하여, A의 열 수와 B의 행 수가 같을 때에만 행렬 곱 AB가 정의된다. A가 m×n 행렬이고, B가 n×p 행렬이라면, 곱 AB는 m×p 크기의 행렬이다. AB의 i행 j열 원소는 다음과 같이 계산된다:
AB[i][j] = A[i][1]×B[1][j] + A[i][2]×B[2][j] + ... + A[i][n]×B[n][j]
성질[편집 | 원본 편집]
- 행렬 곱은 결합법칙을 만족한다: (AB)C = A(BC)
- 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않는다: AB ≠ BA
- 항등행렬 I에 대하여 AI = IA = A
- 영행렬 O와의 곱은 항상 영행렬이다: AO = OA = O
예시[편집 | 원본 편집]
예시 1: 2×3 행렬과 3×2 행렬
A = [ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
B = [ 7 8 ]
[ 9 10 ]
[ 11 12 ]
곱 AB의 각 원소 계산:
AB[1][1] = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58
AB[1][2] = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64
AB[2][1] = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139
AB[2][2] = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154
따라서 행렬 곱 AB는 다음과 같다:
AB = [ 58 64 ]
[ 139 154 ]
예시 2: 1×2 행렬과 2×1 행렬
A = [ 2 3 ]
B = [ 4 ]
[ 5 ]
AB = [ 2×4 + 3×5 ] = [ 8 + 15 ] = [ 23 ]
예시 3: 2×2 행렬과 항등행렬
A = [ 5 7 ]
[ 2 6 ]
I = [ 1 0 ]
[ 0 1 ]
AI = A = [ 5 7 ]
[ 2 6 ]
예시 4: 3×1 열벡터와 1×3 행벡터
A = [ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
B = [ 4 5 6 ]
AB = [ 1×4 1×5 1×6 ] = [ 4 5 6 ]
[ 2×4 2×5 2×6 ] = [ 8 10 12 ]
[ 3×4 3×5 3×6 ] = [ 12 15 18 ]
예시 5: 영행렬과의 곱
A = [ 1 2 ]
[ 3 4 ]
O = [ 0 0 ]
[ 0 0 ]
AO = [ 1×0 + 2×0 1×0 + 2×0 ] = [ 0 0 ]
[ 3×0 + 4×0 3×0 + 4×0 ] = [ 0 0 ]
응용[편집 | 원본 편집]
- 선형변환의 합성과 표현
- 연립선형방정식의 해 구하기
- 컴퓨터 그래픽스에서의 좌표 변환
- 통계학과 기계학습에서 회귀분석 및 신경망의 계산
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 2015.
- Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.
