행렬 곱
행렬 곱(matrix multiplication, 行列곱)은 두 개의 행렬에서 정의되는 이항 연산으로, 선형대수학에서 중심적인 개념 중 하나이다. 이는 벡터 공간의 선형 변환을 표현하거나, 연립방정식의 해를 계산하는 데 사용된다.
정의
두 행렬 A와 B에 대하여, A의 열 수와 B의 행 수가 같을 때에만 행렬 곱 AB가 정의된다. A가 m×n 행렬이고, B가 n×p 행렬이라면, 곱 AB는 m×p 크기의 행렬이다. AB의 i행 j열 원소는 다음과 같이 계산된다:
AB[i][j] = A[i][1]×B[1][j] + A[i][2]×B[2][j] + ... + A[i][n]×B[n][j]
성질
- 행렬 곱은 결합법칙을 만족한다: (AB)C = A(BC)
- 일반적으로 교환법칙은 성립하지 않는다: AB ≠ BA
- 항등행렬 I에 대하여 AI = IA = A
- 영행렬 O와의 곱은 항상 영행렬이다: AO = OA = O
예시
예시 1: 2×3 행렬과 3×2 행렬
A = [ 1 2 3 ]
[ 4 5 6 ]
B = [ 7 8 ]
[ 9 10 ]
[ 11 12 ]
곱 AB의 각 원소 계산:
AB[1][1] = 1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58 AB[1][2] = 1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64 AB[2][1] = 4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139 AB[2][2] = 4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154
따라서 행렬 곱 AB는 다음과 같다:
AB = [ 58 64 ]
[ 139 154 ]
예시 2: 1×2 행렬과 2×1 행렬
A = [ 2 3 ] B = [ 4 ]
[ 5 ]AB = [ 2×4 + 3×5 ] = [ 8 + 15 ] = [ 23 ]
예시 3: 2×2 행렬과 항등행렬
A = [ 5 7 ]
[ 2 6 ]I = [ 1 0 ]
[ 0 1 ]AI = A = [ 5 7 ]
[ 2 6 ]
예시 4: 3×1 열벡터와 1×3 행벡터
A = [ 1 ]
[ 2 ] [ 3 ]B = [ 4 5 6 ]
AB = [ 1×4 1×5 1×6 ] = [ 4 5 6 ]
[ 2×4 2×5 2×6 ] = [ 8 10 12 ] [ 3×4 3×5 3×6 ] = [ 12 15 18 ]
예시 5: 영행렬과의 곱
A = [ 1 2 ]
[ 3 4 ]O = [ 0 0 ]
[ 0 0 ]AO = [ 1×0 + 2×0 1×0 + 2×0 ] = [ 0 0 ]
[ 3×0 + 4×0 3×0 + 4×0 ] = [ 0 0 ]
응용
- 선형변환의 합성과 표현
- 연립선형방정식의 해 구하기
- 컴퓨터 그래픽스에서의 좌표 변환
- 통계학과 기계학습에서 회귀분석 및 신경망의 계산
같이 보기
참고 문헌
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 2015.
- Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.
