벡터 공간
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벡터 공간(영어: Vector space)은 벡터라 불리는 원소들의 집합으로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱이 정의되어 있으며 특정 공리들을 만족하는 대수적 구조이다. 선형대수학에서 핵심적인 개념으로, 다양한 수학적 구조와 응용 분야에서 기본적인 틀을 제공한다.
정의[편집 | 원본 편집]
체(field) F 위의 벡터 공간 V는 다음 조건을 만족하는 집합과 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱)으로 정의된다.
- V는 F의 원소에 대한 스칼라 곱과 자기 자신에 대한 덧셈이 정의되어 있다.
- 모든 벡터 u, v, w ∈ V와 스칼라 a, b ∈ F에 대해 다음이 성립한다.
- (u + v) + w = u + (v + w) (결합법칙)
- u + v = v + u (교환법칙)
- 0 ∈ V가 존재하여 u + 0 = u
- 모든 u ∈ V에 대해 -u ∈ V가 존재하여 u + (-u) = 0
- a(bu) = (ab)u
- 1u = u (1은 체 F의 단위원소)
- (a + b)u = au + bu
- a(u + v) = au + av
예시[편집 | 원본 편집]
- 실수 좌표 공간 R^n은 전형적인 벡터 공간이다.
- 다항식의 집합은 계수 체 위에서 벡터 공간을 이룬다.
- 연속 함수의 집합은 적절한 스칼라 연산으로 벡터 공간을 구성한다.
- 행렬의 집합 역시 벡터 공간이 될 수 있다.
기저와 차원[편집 | 원본 편집]
- 기저는 벡터 공간을 생성하는 선형독립 벡터들의 집합이다.
- 차원은 한 벡터 공간의 기저를 이루는 벡터들의 수를 의미하며, 벡터 공간의 크기나 자유도의 척도로 사용된다.
부분공간[편집 | 원본 편집]
벡터 공간 V의 부분집합 U가 V의 연산에 대해 닫혀 있고, V와 같은 공리를 만족하면 이를 부분공간이라 한다. 예를 들어, R^3에서 원점을 지나는 직선과 평면은 부분공간이다.
선형독립과 종속[편집 | 원본 편집]
- 벡터 집합이 선형독립이면, 그 집합 내 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.
- 선형종속 집합은 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있다.
응용[편집 | 원본 편집]
벡터 공간 개념은 수학뿐 아니라 여러 분야에서 활용된다.
- 물리학: 힘, 속도, 전자기장 등의 물리량을 표현
- 컴퓨터 과학: 정보 검색, 자연어 처리, 그래픽스
- 통계학: 다변량 분석, 주성분 분석
- 공학: 제어 이론, 신호 처리
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer.
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press.
