가우스 소거법

가우스 소거법(독일어: Gaußsches Eliminationsverfahren, 영어: Gaussian elimination)은 연립방정식 해법, 행렬의 기저 및 랭크 계산 등에 사용되는 선형대수학의 기초적인 알고리즘으로, 행 연산을 통해 행렬을 계단형으로 바꾸는 절차이다.

정의

가우스 소거법은 행렬에 다음과 같은 기본 행 연산을 반복 적용하여 계단형(row echelon form) 또는 기약 계단형(reduced row echelon form, RREF)으로 변환하는 방법이다:

• 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다.
• 한 행에 다른 행의 배수를 더하거나 뺀다.
• 행의 위치를 서로 바꾼다.

이 과정을 통해 연립선형방정식을 간단한 형태로 변환하고, 해의 존재 여부 및 해를 직접 구할 수 있다.

단계

• 1단계: 맨 왼쪽 열에서 첫 번째 0이 아닌 원소(피벗)를 찾고, 해당 행을 위로 올린다.
• 2단계: 피벗 아래의 모든 원소를 0으로 만들기 위해 적절한 행 연산을 수행한다.
• 3단계: 다음 열로 이동하여 반복한다.
• 4단계: (선택적으로) 각 피벗을 1로 만들고, 피벗 위의 원소도 0으로 만드는 과정을 거치면 기약 계단형이 된다.

용도

• 연립일차방정식의 해 구하기
• 행렬의 랭크 계산
• 선형 독립성 판별
• 열공간/행공간의 기저 추출
• 역행렬 계산 (단, 가역 행렬에 한함)
• 벡터 공간의 차원 계산

예시

다음은 연립방정식 \[ \begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x + 5y + z = 13 \\ 4x + 10y + 3z = 28 \end{cases} \] 을 가우스 소거법으로 푸는 과정이다:

• 계수 행렬을 확장 행렬로 나타냄:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & \vert & 6 \\ 2 & 5 & 1 & \vert & 13 \\ 4 & 10 & 3 & \vert & 28 \end{bmatrix} \]

• 1행을 기준으로 아래 행들에 적절한 배수를 빼서 첫 번째 열 소거
• 다시 2행을 기준으로 3행 소거
• 최종적으로 위에서 아래로, 그리고 다시 위로 피벗 정리하여 기약 계단형으로 만들고 해를 추론

같이 보기

• 연립방정식
• 선형 독립
• 행렬의 계단형
• 벡터의 차원
• 행렬의 랭크

각주

없음