벡터의 차원

벡터의 차원(次元, 영어: dimension of a vector space)은 벡터 공간을 구성하는 데 필요한 최소한의 선형 독립 벡터의 수를 의미하며, 해당 공간의 구조를 수치적으로 나타내는 중요한 개념이다.

정의

벡터 공간 V의 차원은 V의 기저를 이루는 벡터들의 개수로 정의된다.

• 벡터 공간 V의 차원은 기호로 \(\dim V\) 또는 \(\operatorname{dim}(V)\)로 나타낸다.
• 기저는 여러 개 존재할 수 있지만, 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 가지므로 차원은 잘 정의된다.

기저와의 관계

• 기저는 생성성과 선형 독립성을 만족하는 벡터 집합이며, 이 기저의 벡터 개수가 곧 벡터 공간의 차원이다.
• 차원은 기저에 따라 달라지지 않으며, 특정 기저를 선택하더라도 그 수는 항상 일정하다.
• 차원은 공간의 ‘자유도’ 또는 좌표 표현 시 필요한 축의 개수와 관련이 있다.

성질

• 차원이 n인 벡터 공간에서는 n개 이상의 선형 독립 벡터를 가질 수 없다.
• 차원이 n인 벡터 공간에서는 n개의 선형 독립 벡터 집합은 항상 기저가 된다.
• 차원이 0인 벡터 공간은 영벡터만을 포함하는 자명한 공간이다.
• 차원이 유한한 경우를 유한 차원 벡터 공간(finite-dimensional vector space), 무한한 경우를 무한 차원 벡터 공간(infinite-dimensional vector space)이라 한다.
• 벡터 공간의 부분공간의 차원은 항상 전체 공간의 차원 이하이다.

예시

• ℝ²는 2차원 벡터 공간이며, 표준기저 \(\{[1\ 0], [0\ 1]\}\)을 가진다.
• ℝ³는 3차원이며, 표준기저 \(\{[1\ 0\ 0], [0\ 1\ 0], [0\ 0\ 1]\}\)이 있다.
• 최고차항이 2 이하인 다항식 공간 \(P_2\)는 \(\{1, x, x^2\}\)를 기저로 가지며 차원은 3이다.
• 행렬의 열공간 또는 행공간의 차원은 선형 독립한 열 또는 행벡터의 최대 개수와 같다.
• 연속 함수 공간, 다항식 전체 공간 등은 무한 차원 벡터 공간의 예이다.

같이 보기

• 벡터의 기저
• 선형 독립
• 벡터 공간
• 랭크
• 차원 정리

각주

없음