기댓값

Expected Value; 기대값, 평균, E(X)

확률변수가 가질 수 있는 값마다 그 값이 나올 확률을 곱해 모두 더한 값으로, 같은 시행을 무수히 반복했을 때 얻는 평균값

정의

• 이산 확률변수: $E(X)=\sum _{x}xP(X=x)$
• 연속 확률변수: $E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$ (f 는 확률밀도함수)

기댓값은 한 번의 시행에서 실제로 나오는 값이 아니다. 주사위 하나의 기댓값은 3.5 이지만 3.5 라는 눈은 나오지 않는다. 시행을 많이 되풀이할수록 결과의 산술평균이 기댓값에 가까워진다(큰 수의 법칙).

계산 예

주사위 하나

$E(X)=(1+2+3+4+5+6)\times \frac{1}{6}=3.5$

주사위 두 개의 합

주사위 두 개를 던지면 경우의 수는 6 × 6 = 36 가지다. 눈의 합별 경우의 수는 다음과 같다.

합	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
경우의 수	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

합이 7 일 확률이 6/36 = 1/6 로 가장 크다. 합의 기댓값은 2 × 3.5 = 7 이다(아래 선형성).

손실의 기댓값

어떤 사건이 확률 p 로 일어나 손실 L 을 내고, 일어나지 않으면 손실이 0 이라면

$E(\text{손실})=L\times p+0\times (1-p)=L\times p$

위험 관리에서 이 값을 위험 노출도(Risk Exposure), 기대 금전 가치(EMV), 연간 예상 손실(ALE) 같은 이름으로 쓴다.

성질

• 선형성: $E(aX+b)=aE(X)+b$, $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$. 두 확률변수가 독립이 아니어도 성립한다 → 기댓값의 선형성
• 독립인 두 확률변수의 곱: $E(XY)=E(X)E(Y)$ (독립이 아니면 일반적으로 성립하지 않는다)
• 분산은 기댓값으로 정의된다: $Var(X)=E[(X-E(X){)}^2]=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$

같이 보기

• 확률 분포
• 기댓값의 선형성
• 선형 결합
• 위험 노출도