나이키스트 정리

Nyquist Theorem; 표본화 정리; 샘플링 정리

아날로그 신호를 디지털로 바꿀 때 원래 신호를 복원하려면 신호의 최고 주파수의 두 배 이상으로 표본을 뽑아야 한다는 정리

표본화 주파수와 주기

• 신호의 최고 주파수를 W(Hz)라 할 때

표본화 주파수 f_s ≥ 2W

표본화 주기 T = 1 ÷ 2W

• 1초에 2W번, 곧 1/2W초마다 한 번씩 값을 읽어야 한다.
• 2W를 나이키스트 속도(Nyquist rate), 표본화 주파수의 절반을 나이키스트 주파수라 한다.

표본화가 모자라면

• 표본화 주파수가 2W보다 낮으면 높은 주파수 성분이 낮은 주파수로 잘못 복원된다. 이를 에일리어싱(Aliasing)이라 한다.
• 이를 막기 위해 표본화 앞단에 저역 통과 필터(anti-aliasing filter)를 둔다.

예

• 전화 음성은 4kHz까지만 쓰므로 8kHz로 표본화한다. PCM이 초당 8,000표본을 뽑는 이유다.
• 가청 주파수 20kHz를 담으려면 40kHz 이상이 필요하므로 CD는 44.1kHz를 쓴다.

채널 용량

• 잡음이 없는 채널의 최대 전송률도 나이키스트가 유도했다.

C = 2W log₂M (bps, M은 신호 레벨 수)

• 예: 대역폭 3,100 Hz, 신호 하나에 2비트를 싣는 신호 레벨(M = 4), 잡음 없음

C = 2 × 3,100 × log₂4 = 2 × 3,100 × 2 = 12,400 bps

• 2W = 6,200 은 1초에 보낼 수 있는 최대 신호 수(변조 속도, baud)다. 여기에 신호당 비트 수를 곱해야 bps 가 된다 → 변조 속도
• 잡음이 있는 채널은 섀넌의 공식을 쓴다.

C = W log₂(1 + S/N) (bps, W 는 대역폭 Hz, S/N 은 신호 대 잡음비. 데시벨이면 10^dB/10 으로 바꿔 넣는다)

• 예: 대역폭 150 kHz, S/N = 15

C = 150,000 × log₂(1 + 15) = 150,000 × log₂16 = 150,000 × 4 = 600 kbps

• 섀넌 용량은 잡음 속에서 오류 없이 보낼 수 있는 이론상의 상한이다. 대역폭을 늘리거나 S/N 을 높여야 용량이 커진다

같이 보기

• 디지털 변조
• 다중화