좌표계
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좌표계(座標系, coordinate system)는 기준점(원점)과 기준 방향을 정해 두고, 공간 안의 점의 위치를 몇 개의 수(좌표)로 나타내는 체계이다.
| 좌표계 | 점을 나타내는 값 | 특징 |
|---|---|---|
| 직교 좌표계(Cartesian, 데카르트 좌표계) | 2차원 (x, y), 3차원 (x, y, z) | 서로 직각인 축을 따라 원점에서 떨어진 거리로 나타낸다 → 카테시안 평면 |
| 극 좌표계(Polar) | (r, θ) | 원점으로부터의 거리 r 과 기준 축에서 잰 각도 θ 로 나타내는 2차원 좌표계. 원·회전 운동을 다루기 쉽다 |
| 원통 좌표계(Cylindrical) | (r, θ, z) | 극 좌표에 높이 z 를 더한 3차원 좌표계. 원기둥 모양의 물체·회전체에 쓴다 |
| 구면 좌표계(Spherical) | (ρ, θ, φ) | 원점까지의 거리와 두 각(방위각·천정각)으로 나타내는 3차원 좌표계. 지구 위의 위치(경도·위도)도 이와 같은 생각이다 |
- 극 → 직교 : x = r cos θ, y = r sin θ
- 직교 → 극 : r = √(x² + y²), θ = tan⁻¹(y / x)
- 원통 → 직교 : x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
- 구면 → 직교 : 원점에서 점 P 까지의 거리를 D, P 에서 xy 평면에 내린 수선의 발과 원점을 이은 선이 x 축과 이루는 각(방위각)을 θ, z 축과 원점-P 연결선이 이루는 각(천정각)을 ø 라 하면
- x = D sin ø cos θ, y = D sin ø sin θ, z = D cos ø
- 직교 → 구면 :
- D = √(x² + y² + z²), θ = tan⁻¹(y / x), ø = cos⁻¹(z / D) = tan⁻¹(√(x² + y²) / z)
- P 를 xy 평면에 비춘 그림자의 길이가 D sin ø 이고, 이것을 θ 로 x·y 에 나누는 것이 핵심이다. 천정각 대신 xy 평면에서 위로 잰 앙각 β(위도와 같은 각)를 쓰면 sin 과 cos 이 바뀌어 x = D cos β cos θ, y = D cos β sin θ, z = D sin β 다
- θ 는 사분면을 가려야 하므로 프로그램에서는 tan⁻¹ 대신 atan2(y, x) 로 구한다
그래픽스에서는 기하학적 종류와 별개로 무엇을 기준으로 하느냐에 따라 좌표계를 나눈다.
| 좌표계 | 기준 | 쓰임 |
|---|---|---|
| 모델 좌표계(지역 좌표계) | 물체 하나의 원점 | 물체를 모델링할 때. 물체마다 따로 있다 |
| 월드 좌표계(세계 좌표계) | 장면 전체의 원점 | 여러 물체를 한 장면에 배치할 때 |
| 뷰 좌표계(카메라 좌표계) | 보는 사람의 눈 위치와 방향 | 장면을 어느 방향에서 볼지 정할 때 |
| 장치 좌표계(화면 좌표계) | 출력 장치의 픽셀 위치 | 모니터·프린터에 실제로 그릴 때 |