확률 분포

Probability Distribution; 확률 분포
확률변수가 취하는 값과 그 값이 나올 확률의 대응 관계

확률변수

확률변수는 표본공간의 각 결과에 실수 값을 대응시키는 함수이다.

이산확률변수 : 셀 수 있는 값을 가진다. 확률질량함수(PMF) $P (X = x)$ 로 나타낸다
연속확률변수 : 구간 안의 모든 실수 값을 가진다. 확률밀도함수(PDF) $f (x)$ 로 나타내며, 한 점의 확률은 0이고 구간의 넓이가 확률이다
두 경우 모두 누적 분포 함수 $F (x) = P (X \leq x)$ 를 정의할 수 있다

이산확률분포

분포	상황	평균	분산
베르누이 Ber(p)	성공(1)/실패(0) 한 번 시행	$p$	$p (1 - p)$
이항 B(n, p)	n번 독립 시행 중 성공 횟수	$n p$	$n p (1 - p)$
기하 Geo(p)	첫 성공까지의 시행 횟수	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p^{2}}$
포아송 Poi(λ)	단위 시간·공간에서 사건이 일어난 횟수	$λ$	$λ$
초기하	크기 N(성공 K개) 모집단에서 n개를 비복원 추출할 때 성공 수	$n \frac{K}{N}$	$n \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N}) \frac{N - n}{N - 1}$
다항	결과가 k가지인 시행을 n번 할 때 각 결과의 횟수	$E (X_{i}) = n p_{i}$	$n p_{i} (1 - p_{i})$

기하분포를 "첫 성공 전 실패 횟수"로 정의하면 평균이 $\frac{1 - p}{p}$ 가 된다. 분산은 같다
포아송 분포는 평균과 분산이 같다. n이 크고 p가 작은 이항분포는 λ = np인 포아송 분포로 근사한다

연속확률분포

분포	상황	평균	분산
균일 U(a, b)	구간 안의 값이 모두 같은 밀도	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{(b - a)^{2}}{12}$
정규 N(μ, σ²)	평균 중심의 좌우 대칭 종 모양	$μ$	$σ^{2}$
표준정규 N(0, 1)	$Z = \frac{X - μ}{σ}$ 로 표준화한 정규분포	0	1
지수 Exp(λ)	사건 사이의 대기 시간(포아송 과정)	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ^{2}}$
t t(ν)	모분산을 모를 때 평균 검정	0 (ν > 1)	$\frac{ν}{ν - 2}$ (ν > 2)
카이제곱 χ²(k)	표준정규변수 k개의 제곱합, 분산·범주형 검정	$k$	$2 k$
F F(d₁, d₂)	두 카이제곱 변수를 자유도로 나눈 비, 분산비 검정	$\frac{d_{2}}{d_{2} - 2}$ (d₂ > 2)	$\frac{2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2)}{d_{1} (d_{2} - 2)^{2} (d_{2} - 4)}$ (d₂ > 4)

지수분포는 무기억성을 가진다 : $P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)$
t분포는 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가까워진다
정규분포에서 평균 ± 1σ, 2σ, 3σ 안에 각각 약 68%, 95%, 99.7%가 들어간다

기댓값과 분산의 성질

기댓값 : $E (X) = \sum x P (X = x)$ 또는 $\int x f (x) d x$
분산 : $V a r (X) = E [(X - μ)^{2}] = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$
$E (a X + b) = a E (X) + b$
$V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)$ (상수 b는 분산에 영향이 없다)
$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ (항상 성립)
$V a r (X + Y) = V a r (X) + V a r (Y) + 2 C o v (X, Y)$ , X와 Y가 독립이면 $C o v (X, Y) = 0$
독립이면 $E (X Y) = E (X) E (Y)$

from scipy import stats

stats.binom.pmf(3, n=10, p=0.2)     # P(X=3), X ~ B(10, 0.2)
stats.poisson.cdf(2, mu=4)          # P(X<=2), X ~ Poi(4)
stats.norm.ppf(0.975)               # 표준정규 97.5% 분위수 ≈ 1.96
stats.expon.mean(scale=1/0.5)       # λ=0.5인 지수분포 평균 = 2 (scale = 1/λ)

시험 포인트

이항·포아송·지수·균일분포의 평균·분산 공식을 대입하는 계산 문제
$V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)$ 같은 성질 적용
상황 서술을 보고 알맞은 분포 고르기(비복원 추출 = 초기하, 대기 시간 = 지수, 횟수 = 포아송)

초기하 분포와 이항 분포

초기하 분포는 성공 K 개가 들어 있는 크기 N 의 모집단에서 n 개를 비복원으로 뽑을 때의 성공 수 분포다. 이산형 분포다.
비복원 추출이라 앞에서 무엇을 뽑았느냐에 따라 다음 성공 확률이 달라진다. 그래서 각 시행의 성공 확률이 일정하지 않고, 시행끼리 독립이 아니다.
복원 추출이면 시행마다 성공 확률이 같고 시행이 독립이므로 이항 분포를 쓴다.

같이 보기

참고 문헌

SciPy: Statistical functions (scipy.stats)