기초통계량

Descriptive Statistics; 기술 통계량; 요약 통계량
자료의 중심 위치, 퍼진 정도, 분포 모양을 몇 개의 숫자로 요약한 값

기초통계량은 자료 전체를 하나하나 보지 않고도 특징을 파악할 수 있게 해 주는 요약값이다. 중심 경향(대표값), 산포도(퍼진 정도), 분포 형태(비대칭성과 꼬리의 두께)로 나눈다. 분석을 시작할 때 히스토그램, 박스 플롯과 함께 확인해 자료의 분포, 이상치, 결측치 여부를 파악한다.

아래 설명의 예시는 자료 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9(n = 8)로 계산한 값이다(Python으로 검산).

중심 경향 기초통계량

Central Tendency; aka. 중심화 경향, 중심 경향성

평균값(Mean)
- 산술평균. 모든 값을 더해 개수로 나눈다. $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$
- 모든 값을 반영하지만 극단값(이상치)의 영향을 크게 받는다. 예시 자료의 평균은 40/8 = 5이다.
중앙값(Median)
- 자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 가운데 값이다. n이 짝수이면 가운데 두 값의 평균이다.
- 극단값의 영향을 거의 받지 않아 소득처럼 치우친 자료의 대표값으로 적합하다. 예시 자료는 4번째와 5번째 값 4와 5의 평균 4.5이다.
최빈값(Mode)
- 가장 많이 나타나는 값이다. 여러 개일 수도 있고 없을 수도 있다.
- 명목 척도 자료에도 쓸 수 있는 유일한 대표값이다. 예시 자료의 최빈값은 세 번 나온 4이다.
분위수(Quantile)
- 자료를 크기순으로 늘어놓고 일정한 비율로 나누는 점이다. 4등분하면 사분위수, 100등분하면 백분위수이다.
- 제1사분위수 Q1은 하위 25%, 제2사분위수 Q2는 중앙값(50%), 제3사분위수 Q3은 하위 75% 지점이다.
- 분위수를 계산하는 방법은 여러 가지이다. R의 quantile()은 9가지 방식(type 1~9)을 제공하며 기본은 type 7이다. 방식에 따라 값이 조금 다를 수 있다. 예시 자료를 type 7로 계산하면 Q1 = 4, Q3 = 5.5이다.

산포도 기초통계량

Degree Dispersion

범위(Range)
- 최댓값 − 최솟값. 계산은 쉽지만 두 극단값만으로 정해지므로 이상치에 매우 민감하다. 예시 자료는 9 − 2 = 7이다.

표준 편차(Standard Deviation)
- 분산의 양의 제곱근이다. $s = \sqrt{s^{2}}$
- 분산과 달리 원자료와 단위가 같아 해석하기 쉽다. 예시 자료의 표본표준편차는 √(32/7), 약 2.138이다. 자세한 내용은 표준 편차 문서를 참고한다.

분산(Variance)
- 각 값이 평균에서 떨어진 거리(편차)를 제곱해 평균한 값이다.
- 표본분산은 n이 아니라 n − 1로 나눈다. $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$
- 모분산은 모집단 크기 N으로 나눈다. $σ^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{2}$
- n − 1로 나누면 표본분산이 모분산의 불편추정량이 된다. R의 var()와 sd()는 n − 1로 나눈 표본분산·표본표준편차를 계산한다.
- 예시 자료의 편차 제곱합은 32이므로 표본분산은 32/7, 약 4.571이다(n으로 나누면 4). 자세한 내용은 분산 문서를 참고한다.

변동계수(CV, Coefficient of Variation)
- 표준편차를 평균으로 나눈 값이다. $C V = \frac{s}{\bar{x}}$ (백분율로 나타낼 때는 100을 곱한다)
- 단위가 없으므로 단위가 다르거나 평균의 크기가 크게 다른 집단의 상대적인 흩어짐을 비교할 때 쓴다. 예: 코끼리 몸무게와 생쥐 몸무게의 변동 비교
- 평균이 0에 가까우면 값이 불안정하므로, 0 이상의 값만 갖는 비율 척도 자료에 주로 쓴다. 예시 자료는 2.138/5, 약 0.43이다.

사분위 범위(Interquartile Range)
- $I Q R = Q_{3} - Q_{1}$ . 가운데 50% 자료가 퍼진 폭이다.
- 극단값의 영향을 받지 않는 산포도이며, 박스 플롯의 상자 길이이고 이상치 판정 기준(Q1 − 1.5 × IQR, Q3 + 1.5 × IQR)에 쓰인다. 예시 자료는 5.5 − 4 = 1.5이다.

분포 형태 기초통계량

Shape of Distribution

왜도(Skewness)
- 분포가 좌우 대칭에서 얼마나 벗어났는지 나타낸다. $g_{1} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{s^{3}}$ (여기서 s는 n으로 나눈 표준편차)
- 왜도 = 0이면 좌우 대칭이다. 정규 분포의 왜도는 0이다.
- 왜도 > 0이면 오른쪽 꼬리가 긴 분포(오른쪽으로 치우친 분포, 양의 왜도)이다. 봉우리가 하나인 분포에서는 대체로 최빈값 < 중앙값 < 평균 순서가 된다.
- 왜도 < 0이면 왼쪽 꼬리가 긴 분포(왼쪽으로 치우친 분포, 음의 왜도)이다. 대체로 평균 < 중앙값 < 최빈값 순서가 된다.
- 예시 자료는 왜도가 약 0.66으로 양수이고, 최빈값 4 < 중앙값 4.5 < 평균 5이다. 자세한 내용은 왜도 문서를 참고한다.

첨도(Kurtosis)
- 분포의 꼬리가 정규 분포에 비해 얼마나 두꺼운지(뾰족한지) 나타낸다. $\frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{s^{4}}$
- 이 정의에서 정규 분포의 첨도는 3이다. 3보다 크면 꼬리가 두껍고 뾰족한 분포, 작으면 꼬리가 얇고 납작한 분포이다.
- 첨도에서 3을 뺀 값을 초과첨도(excess kurtosis)라 하며, 정규 분포의 초과첨도는 0이다. 소프트웨어나 교재마다 어느 정의를 쓰는지 다르므로 기준값이 3인지 0인지 확인해야 한다.
- 예시 자료는 첨도가 약 2.78(초과첨도 약 −0.22)이다. 자세한 내용은 첨도 문서를 참고한다.

R의 summary()

R에서 숫자 벡터나 데이터프레임에 summary()를 쓰면 숫자 열마다 여섯 개 값을 보여 준다.

출력 이름	의미
Min.	최솟값
1st Qu.	제1사분위수 Q1
Median	중앙값
Mean	평균
3rd Qu.	제3사분위수 Q3
Max.	최댓값

이 가운데 평균을 뺀 최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값을 다섯 숫자 요약(five-number summary)이라 하며, 박스 플롯은 이 다섯 값을 그림으로 나타낸 것이다.
결측값이 있으면 NA's로 결측 개수도 함께 보여 준다. 팩터 열은 수준별 빈도를 보여 준다.
fivenum()은 튜키(Tukey)의 다섯 숫자 요약을 돌려주는데, 사분위수 자리에 힌지(hinge)를 쓰므로 summary()의 Q1, Q3과 값이 다를 수 있다.

x <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
mean(x); median(x)
var(x); sd(x)               # n - 1 로 나눈 표본분산, 표본표준편차
sd(x) / mean(x)             # 변동계수
quantile(x)                 # 기본 type 7
IQR(x)
range(x); diff(range(x))    # 최솟값·최댓값, 범위
summary(x)
fivenum(x)

척도별로 쓸 수 있는 통계량

자료가 어떤 통계 척도로 측정되었는지에 따라 의미 있게 쓸 수 있는 통계량이 다르다. 표에서 아래쪽 척도는 위쪽 척도에서 쓰는 통계량을 모두 쓸 수 있다.

척도	예	대표값	산포도 등
명목 척도	성별, 혈액형, 지역	최빈값	빈도, 비율
서열 척도	학점, 만족도 순위, 선호 순위	최빈값, 중앙값	분위수, 사분위 범위
등간 척도	섭씨온도, 달력 연도	최빈값, 중앙값, 평균	범위, 분산, 표준편차 (절대 0이 없으므로 비율과 변동계수는 의미가 없다)
비율 척도	키, 몸무게, 소득, 거리	최빈값, 중앙값, 평균, 기하평균	범위, 분산, 표준편차, 변동계수

시험 포인트

표본분산은 n − 1로 나눈다. R의 var(), sd()도 n − 1을 쓴다.
평균은 이상치에 민감하고 중앙값과 IQR은 이상치에 강하다.
변동계수 = 표준편차 / 평균. 단위가 다른 집단의 산포를 비교할 때 쓴다.
왜도가 양수이면 오른쪽 꼬리가 길고 대체로 최빈값 < 중앙값 < 평균, 음수이면 그 반대이다.
정규 분포의 첨도는 3(초과첨도로는 0)이다.
명목 척도에는 최빈값만, 서열 척도에는 중앙값까지 쓸 수 있다.

여러 가지 평균

보통 평균이라고 하면 산술평균을 말하지만, 자료의 성격에 따라 다른 평균을 쓴다.

평균	계산	쓰는 곳
산술평균	모든 값을 더해 개수로 나눈다. $\frac{1}{n} \sum x_{i}$	일반적인 대표값
기하평균	모든 값을 곱한 뒤 n제곱근을 취한다. $\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}$	성장률·수익률·물가상승률처럼 비율이 곱해지며 변하는 자료
조화평균	역수의 산술평균의 역수. $\frac{n}{\sum 1 / x_{i}}$	같은 거리를 다른 속도로 갔을 때의 평균 속도처럼 비율(속도)의 평균
가중평균	값마다 가중치를 곱해 더한 뒤 가중치 합으로 나눈다	학점 평균처럼 항목의 비중이 다를 때
절사평균	양 끝 일정 비율을 버리고 나머지로 산술평균을 낸다	이상치의 영향을 줄일 때

예: 같은 거리를 갈 때 시속 60km, 올 때 시속 40km 로 달렸다면 평균 속도는 산술평균 50 이 아니라 조화평균 2 / (1/60 + 1/40) = 48km 이다.
양수 자료에서는 항상 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균이고, 모든 값이 같을 때만 셋이 같다.
세 평균 모두 모든 관측값을 계산에 넣으므로 극단값의 영향을 받는다. 반면 중앙값은 가운데 값 하나(또는 두 개)만 보므로 이상값의 영향을 거의 받지 않는다. "중앙값(중위수)은 이상값에 영향을 많이 받는다" 는 틀리다.

평균절대편차

평균절대편차(Mean Absolute Deviation)는 각 관측값과 평균 사이의 거리(편차의 절댓값)를 평균한 산포도이다.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |

편차를 제곱하는 분산과 달리 절댓값을 쓰므로 원자료와 단위가 같고, 큰 편차에 덜 민감하다.
예시 자료(평균 5)의 편차 절댓값은 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 4 로 합이 12 이므로 평균절대편차는 12/8 = 1.5 이다.
표준편차는 분산에 제곱근을 씌워 원자료와 단위를 맞춘 값이다. 평균절대편차와 표준편차는 모두 평균에서 떨어진 정도를 재지만 계산 방식이 다르다.

같이 보기

참고 문헌