선형 독립

선형 독립(線型獨立, 영어: linear independence)은 벡터 공간에서 여러 벡터가 서로 선형 결합으로 표현되지 않는 관계를 의미하며, 기저와 차원 정의의 핵심 개념이다.

정의

벡터 공간 V의 벡터 집합 \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\)이 다음 조건을 만족할 때 이 집합은 선형 독립이라 한다:

• 임의의 스칼라 \(a_1, a_2, ..., a_n\)에 대해
  • \(a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n = 0\) 이 성립하면,
  • \(a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\) 일 때만 가능하다.

반대로, 0이 아닌 계수로 선형 결합하여 영벡터를 만들 수 있는 경우, 그 벡터 집합은 선형 종속(linearly dependent)이라 한다.

판단 기준

• 선형 독립 여부는 벡터들의 선형 결합으로 영벡터를 만들 수 있는지 여부로 판단한다.
• 행렬을 만들고 가우스 소거법으로 선형 결합 방정식을 풀어 독립 여부를 결정할 수 있다.
• 다음과 같은 경우에는 항상 선형 독립이다:
  • 0벡터를 포함하지 않는 하나의 벡터
  • 정사각행렬의 열 또는 행이 선형 독립 ⇔ 행렬식이 0이 아님

예시

• \(\{[1\ 0], [0\ 1]\}\)은 ℝ²에서 선형 독립이다. 이 둘의 선형 결합이 0이 되려면 계수 모두가 0이어야 하기 때문이다.
• \(\{[1\ 2], [2\ 4]\}\)은 ℝ²에서 선형 종속이다. 두 번째 벡터는 첫 번째 벡터의 2배이므로, \(2v_1 - v_2 = 0\)이라는 관계가 존재한다.
• \(\{[1\ 0\ 0], [0\ 1\ 0], [0\ 0\ 1]\}\)은 ℝ³에서 정규직교 기저를 이루며 선형 독립이다.

성질

• 어떤 벡터 집합이 선형 독립이면, 그 벡터들로 이루어진 부분공간의 기저가 될 수 있다.
• 선형 독립한 벡터들을 추가하면 차원이 증가하지만, 선형 종속 벡터를 추가하면 차원은 그대로이다.
• n차원 벡터 공간에서 n개 벡터가 선형 독립이면, 그 집합은 반드시 해당 공간의 기저이다.
• 선형 독립성과 벡터 공간의 차원은 밀접하게 연결된다.

같이 보기

• 선형 결합
• 기저와 차원
• 벡터 공간
• 가우스 소거법
• 랭크

각주

없음