행렬의 랭크
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행렬의 랭크(영어: rank of a matrix)는 행렬에서 선형 독립한 행 또는 열벡터의 최대 개수를 나타내는 수로, 벡터 공간의 차원과 선형 변환의 구조를 분석하는 데 중요한 개념이다.
정의[편집 | 원본 편집]
행렬 A의 랭크는 다음과 같이 정의된다:
- 행 랭크(row rank): 행렬 A의 행벡터들 중 선형 독립한 최대 개수
- 열 랭크(column rank): 행렬 A의 열벡터들 중 선형 독립한 최대 개수
모든 행렬에 대해 행 랭크와 열 랭크는 항상 같다. 이를 '''랭크 정리''' 또는 '''행 랭크 = 열 랭크 정리'''라 부르며, 임의의 행렬 A에 대해
\(\operatorname{row\,rank}(A) = \operatorname{column\,rank}(A)\)
가 항상 성립한다. 이 값은 보통 단순히 행렬 A의 '''랭크'''라 하며, 열공간 또는 행공간의 차원과도 일치한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 행렬 A의 랭크는 A의 계단형 또는 기약 계단형 행렬에서 0이 아닌 행의 개수와 같다.
- 행렬 A가 m×n 행렬일 때, \(\operatorname{rank}(A) \leq \min(m, n)\) 이다.
- A의 랭크가 n이면 A의 열벡터는 ℝᵐ에서 n차원 부분공간을 생성한다.
- A의 랭크가 m이면 A의 행벡터는 ℝⁿ에서 m차원 부분공간을 생성한다.
- A의 열공간 및 행공간의 차원은 A의 랭크와 같다.
- 정사각행렬 A가 가역이면 \(\operatorname{rank}(A) = n\) 이다 (n은 A의 크기).
- A의 랭크가 A의 열 수보다 작으면 열벡터는 선형 종속이다.
계산 방법[편집 | 원본 편집]
- 가우스 소거법을 사용하여 행렬을 계단형 또는 기약 계단형으로 만든 후, 0이 아닌 행의 개수를 센다.
- 소거 과정 중 피벗(pivot)이 등장하는 위치의 수는 랭크와 같다.
- 연립방정식 \(Ax = b\)의 해의 존재 여부 및 해의 수는 행렬 A의 랭크와 관련 있다.
예시[편집 | 원본 편집]
- \(\begin{bmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{bmatrix}\)는 두 번째 행이 첫 번째 행의 2배이므로 랭크는 1이다.
- \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & 3\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)는 이미 계단형이며 0이 아닌 행이 2개이므로 랭크는 2이다.
- \(\begin{bmatrix}3 & 2 & 4\\1 & 4 & -2\\2 & 1 & 3\end{bmatrix}\)는 가우스 소거법으로 확인하면 선형 독립한 행 또는 열이 2개임을 알 수 있으므로 랭크는 2이다.
