벡터의 기저

벡터의 기저(基底, 영어: basis of a vector space)는 벡터 공간을 구성하는 최소한의 벡터 집합으로, 모든 벡터를 유일하게 선형 결합으로 표현할 수 있게 하는 벡터들의 집합이다.

정의

벡터 공간 V에서 벡터 집합 \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\)이 다음 두 조건을 만족할 때, 이 집합을 V의 기저라 한다:

• 생성 조건: 집합 \(\{v_1, ..., v_n\}\)의 선형 결합으로 V의 모든 벡터를 표현할 수 있다. 즉, \(\mathrm{span}(v_1, ..., v_n) = V\).
• 선형 독립 조건: \(\{v_1, ..., v_n\}\)은 선형 독립이다.

성질

• 기저는 벡터 공간을 완전히 기술하는 역할을 하며, 벡터 공간의 구조를 결정한다.
• 벡터 공간 V의 임의의 벡터 v는 기저 벡터들의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.
• 벡터 공간 V에서 기저를 구성하는 벡터의 수는 항상 동일하며, 이를 V의 차원이라 한다.
• 하나의 벡터 공간에는 여러 개의 서로 다른 기저가 존재할 수 있으며, 모든 기저는 선형 독립성과 생성성을 만족해야 한다.
• 정규직교기저(orthonormal basis)는 내적이 정의된 공간에서 특별한 기저로, 계산과 해석에 유리하다.

표준기저

• ℝⁿ에서의 표준기저는 좌표축 방향의 단위벡터들로 구성된다.
• 예를 들어, ℝ²의 표준기저는 \(\{[1\ 0], [0\ 1]\}\), ℝ³의 표준기저는 \(\{[1\ 0\ 0], [0\ 1\ 0], [0\ 0\ 1]\}\)이다.
• 이 기저는 계산이 단순하여 벡터를 좌표로 표현할 때 자주 사용된다.

예시

• ℝ²의 표준기저 \(\{[1\ 0], [0\ 1]\}\)은 ℝ²의 모든 벡터를 유일하게 표현할 수 있는 기저이다.
• 다항식 공간 \(P_2\) (최고차항이 2 이하인 실수 다항식들의 공간)의 기저는 \(\{1, x, x^2\}\)이다.
• 행렬의 열공간에서 선형 독립한 열벡터들을 선택하면 그 집합이 열공간의 기저가 된다.
• 무한 차원 공간에서도 기저 개념은 적용되며, 예를 들어 푸리에 급수의 정현파 함수 집합은 L² 공간의 기저가 될 수 있다.

같이 보기

• 벡터의 차원
• 선형 독립
• 벡터 공간
• 기저 변환
• 표준기저

각주

없음