평면도법

평면도법(平面圖法)은 자와 컴퍼스만으로 평면 위에 선분·각·다각형·원 같은 도형을 정확하게 그리는 기본 작도 방법으로, 제도와 디자인의 기초가 된다.

개요

평면도법은 길이를 재지 않고 컴퍼스로 같은 길이를 옮기고 자로 점을 이어 그린다. 선을 수직으로 세우거나 나누는 작도, 각을 나누는 작도, 정다각형 작도, 원과 접선 작도, 넓이가 같은 다른 도형으로 바꾸는 작도가 있다. 입체를 평면에 옮기는 투상법·투시도법과 구별한다 → 제도 통칙, 투시도법

선의 작도

수직선 긋기 - 직선 위의 한 점에서 그 점을 중심으로 양쪽에 같은 거리의 두 점을 잡고, 두 점을 중심으로 같은 반지름의 호를 그려 만난 점과 처음 점을 잇는다. 선분의 두 끝을 중심으로 같은 반지름의 호를 그려 두 교점을 이으면 수직 이등분선이 된다
직선의 n등분 - 선분의 한 끝에서 임의의 각도로 보조선을 긋고, 컴퍼스로 같은 간격의 점 n 개를 찍는다. 마지막 점과 선분의 다른 끝을 잇고, 나머지 점들에서 그 선에 평행선을 그어 선분과 만나는 점으로 나눈다

각의 작도

각의 2등분 - 꼭짓점을 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 잡고, 그 두 점을 중심으로 같은 반지름의 호를 그려 만난 점과 꼭짓점을 잇는다
직각의 3등분 - 직각 ∠ABC 의 꼭짓점 B 를 중심으로 호를 그려 두 변과 만나는 점을 D, E 라 한다. D 와 E 를 각각 중심으로 같은 반지름(BD)의 호를 그려 호 DE 와 만나는 점 F, G 를 잡고 BF, BG 를 그으면 직각이 30° 씩 세 각으로 나뉜다. BD = DG = BG 로 정삼각형이 생겨 60° 를 얻는 원리다
각의 n등분 - 임의의 각을 자와 컴퍼스만으로 정확히 3등분 이상 나눌 수는 없어, 반원의 지름을 n 등분해 옮기는 근사 작도를 쓴다. 직각의 3등분은 30° 가 작도 가능한 각이라 정확히 된다

같은 면적 그리기

주어진 도형과 넓이가 같은 다른 도형을 그리는 작도다(등적 변형).

작도	방법	원리
삼각형과 같은 넓이의 직사각형	삼각형 ABC 의 밑변 BC 를 그대로 쓰고, 높이 AD 의 절반을 높이로 하는 직사각형을 그린다	삼각형 넓이 = 밑변 × 높이 ÷ 2
직사각형과 같은 넓이의 정사각형	직사각형의 두 변 a, b 를 한 직선 위에 이어 붙여 그 전체를 지름으로 반원을 그리고, 두 변이 맞닿은 점에서 세운 수선이 반원과 만나는 길이를 한 변으로 정사각형을 그린다	수선의 길이² = a × b(비례중항)
원과 넓이가 같은 정사각형, 정사각형과 넓이가 같은 원	정사각형의 대각선 교점(중심)을 원의 중심으로 삼고 반지름을 정해 넓이를 맞춘다	원의 넓이를 정사각형으로 정확히 옮기는 것은 불가능하므로 근사 작도다
다각형과 같은 넓이의 삼각형	꼭짓점 하나를 이웃 대각선에 평행하게 옮겨 변의 수를 하나씩 줄인다	밑변과 높이가 같은 삼각형은 넓이가 같다

같은 면적이 아닌 작도

정사각형 ABCD 에서 A 를 중심으로 반지름 AB 인 호를 그려 대각선 AC 와 만나는 점 E 를 잡고, E 에서 두 변에 수선을 내려 만든 정사각형은 한 변이 AB ÷ √2 라 넓이가 원래의 1/2 인 정사각형이다. 같은 면적 그리기가 아니다
선분·각을 나누는 작도와 정다각형 작도는 넓이와 관계없다

같이 보기