RC 회로

RC 회로(RC circuit)는 저항(R)과 커패시터(C)를 이은 회로로, 커패시터가 전하를 모으고 내놓는 데 시간이 걸리기 때문에 전압을 갑자기 바꾸면 출력이 지수 곡선을 그리며 따라가고, 주파수에 따라 신호를 다르게 통과시킨다.

개요

커패시터의 전압은 순간적으로 바뀌지 못한다. 저항을 거쳐 전류가 흘러 들어와야 전하가 쌓이기 때문이다. 그래서 직류 전압을 걸거나 끊은 직후에는 회로가 새 상태로 옮겨 가는 과도 상태를 거치고, 충분한 시간이 지나면 정상 상태가 된다. 옮겨 가는 빠르기를 정하는 값이 시정수다.

코일(인덕터, L)과 저항을 이은 RL 회로도 같은 꼴의 지수 응답을 보인다. 코일은 전류가 순간적으로 바뀌지 못하게 막는다.

교류 신호로 보면 RC 회로는 가장 간단한 필터다. 출력을 커패시터 양단에서 꺼내면 낮은 주파수를, 저항 양단에서 꺼내면 높은 주파수를 잘 통과시킨다 → 필터 회로

시정수

시정수(time constant, τ)는 과도 응답이 최종값까지 가는 길의 약 63.2% 를 지나는 데 걸리는 시간이다.

회로	시정수	단위 확인
RC 직렬	τ = RC	Ω × F = s
RL 직렬	τ = L/R	H / Ω = s

시정수가 클수록 충전·방전이 느리다
1τ 에서 63.2%, 2τ 에서 86.5%, 3τ 에서 95.0%, 5τ 에서 99.3% 에 이른다. 보통 5τ 가 지나면 정상 상태로 본다
63.2% 는 1 - e^-1 = 1 - 0.368 에서 나온다

RC 회로의 충전과 방전

직류 전압 V 를 저항 R 을 거쳐 처음에 비어 있는 커패시터 C 에 t = 0 에 거는 경우

v_{C} (t) = V (1 - e^{- t / R C}), i (t) = \frac{V}{R} e^{- t / R C}

t = 0 직후 커패시터는 단락처럼 보여 전류가 V/R 로 가장 크고, 커패시터 전압은 0 이다
시간이 지나면 커패시터 전압이 V 에 다가가고 전류는 0 이 된다. 정상 상태의 커패시터는 직류에서 개방과 같다
전압 V₀ 로 충전된 커패시터를 저항으로 방전시키면 v_C(t) = V₀e^-t/RC 이다

계산 예

10V 전원, R = 100kΩ, C = 20µF 를 직렬로 잇고 t = 0 에 스위치를 닫는다(v_C(0) = 0).

τ = RC = 100×10³ × 20×10^-6 = 2s
v_C = 6.32V 는 10V 의 63.2% 이므로 10(1 - e^-t/2) = 6.32 에서 e^-t/2 = 0.368 = e^-1, 곧 t = τ = 2s 다
kΩ 은 10³, µF 는 10^-6 이다. 자릿수를 하나 잘못 세면 0.2s 나 20s 가 나온다

RL 회로

직류 전압 V 를 저항 R 과 코일 L 에 걸면

i (t) = \frac{V}{R} (1 - e^{- R t / L}), v_{L} (t) = V e^{- R t / L}, v_{R} (t) = V (1 - e^{- R t / L})

전원을 건 직후 코일은 전류 변화를 막아 개방처럼 보이고 전원 전압이 모두 코일에 걸린다. 그 뒤 코일 전압은 지수적으로 줄어든다
정상 상태의 코일은 직류에서 단락과 같아 전류가 V/R 이 된다
커패시터와 코일의 역할이 서로 맞바뀐 꼴이다. RC 회로의 커패시터 전압 ↔ RL 회로의 저항 전압(전류), RC 회로의 저항 전압 ↔ RL 회로의 코일 전압이 같은 모양이다

미분 회로와 적분 회로

폭이 T_p 인 구형파를 넣었을 때 출력 파형은 출력을 어느 소자에서 꺼내는지와 시정수가 펄스 폭보다 큰지 작은지로 정해진다.

회로	출력 위치	시정수 ≪ 펄스 폭	시정수 ≫ 펄스 폭
C 직렬, R 병렬(C-R)	저항 양단	미분 회로. 구형파의 오르내리는 모서리마다 + · - 의 뾰족한 펄스(스파이크)가 나오고 곧 0 으로 줄어든다	구형파가 거의 그대로 지나가되 평탄한 부분이 조금씩 기운다(틸트). 직류를 막는 결합 회로
R 직렬, C 병렬(R-C)	커패시터 양단	모서리가 지수 곡선으로 둥글게 오르내리는 구형파	적분 회로. 충전·방전이 직선에 가까워 삼각파가 된다
R 직렬, L 병렬(R-L)	코일 양단	미분 회로. C-R 의 저항 전압과 같은 모양: 모서리 직후 최대였다가 0 으로 줄어드는 스파이크	틸트가 있는 구형파
L 직렬, R 병렬(L-R)	저항 양단	모서리가 둥근 구형파	적분 회로. 삼각파

미분 회로의 출력(C-R 의 저항, R-L 의 코일)은 입력이 바뀐 직후에 가장 크고 그 뒤 줄어든다. 펄스 동안 점점 커지는 파형은 나오지 않는다
적분 회로의 출력(R-C 의 커패시터, L-R 의 저항)은 입력이 바뀐 직후 0 에서 출발해 점점 커진다
예: 입력 구형파의 반주기가 τ 이고 R-L 회로의 코일 전압을 볼 때 τ > L/R 이면 출력은 0 에서 τ 까지 + 스파이크가 줄어드는 모양, τ 에서 - 스파이크가 줄어드는 모양이다. 0 에서 τ 까지 지수적으로 커지다가 τ 에서 뒤집히는 파형을 그렸다면 틀린 것이다
연산 증폭기로 만든 미분기·적분기는 시정수 조건 없이 거의 정확한 미분·적분을 한다 → 연산 증폭기

주파수 응답

정현파 입력으로 보면 R-C(커패시터 출력)는 저역 통과, C-R(저항 출력)은 고역 통과 필터다. 차단 주파수는 둘 다

f_{c} = \frac{1}{2 π R C}

이고 출력이 통과 대역의 1/√2(-3dB)가 되는 주파수다. 시정수가 작을수록 차단 주파수가 높다. 크기와 위상을 주파수에 따라 그리는 방법은 보데 선도에 있다.

같이 보기