T-검정

t-test; t-검정
모분산을 모를 때 t분포를 이용해 한 집단 또는 두 집단의 평균을 검정하는 방법

표본이 작고 모표준편차를 모르면 Z-검정을 쓸 수 없다. 표본 표준편차로 대신 계산한 통계량은 t분포를 따르므로 이것으로 검정한다. 세 집단 이상이면 분산분석을 쓴다.

종류

종류	비교 대상	예
단일표본 t-검정	한 집단의 평균 vs 기준값 $μ_{0}$	제품 평균 무게가 500g인가
독립표본 t-검정	서로 독립인 두 집단의 평균	A반과 B반의 평균 점수가 다른가
대응표본 t-검정	같은 대상의 전·후(짝지은) 측정값 차이	교육 전후 점수가 달라졌는가

가정

정규성 : 모집단(대응표본은 차이값)이 정규분포를 따른다. Shapiro-Wilk 검정 등으로 확인한다. 표본이 크면 중심극한정리로 완화된다
독립성 : 관측값끼리 독립이다
등분산성 : 독립표본에서 두 집단의 분산이 같다. Levene 검정으로 확인하고, 다르면 Welch t-검정을 쓴다
정규성이 크게 깨지면 비모수 검정(Mann-Whitney U, Wilcoxon 부호순위 검정)을 쓴다

검정통계량

단일표본

t = \frac{\bar{x} - μ_{0}}{s / \sqrt{n}}, d f = n - 1

독립표본 (등분산)

t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{s_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}}, s_{p}^{2} = \frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}, d f = n_{1} + n_{2} - 2

$s_{p}^{2}$ 는 합동분산(pooled variance)이다.

독립표본 (이분산, Welch)

t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}

자유도는 Welch–Satterthwaite 식으로 근사한다.

d f \approx \frac{{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{\frac{(s_{1}^{2} / n_{1})^{2}}{n_{1} - 1} + \frac{(s_{2}^{2} / n_{2})^{2}}{n_{2} - 1}}

대응표본

각 쌍의 차이 $d_{i} = x_{i}^{a f t e r} - x_{i}^{b e f o r e}$ 에 대해 단일표본 t-검정을 한다.

t = \frac{\bar{d}}{s_{d} / \sqrt{n}}, d f = n - 1

판정

귀무가설 $H_{0}$ : 평균이 같다(차이가 0이다)
p-값이 유의 수준 α(보통 0.05)보다 작으면 $H_{0}$ 를 기각한다
양측 검정은 "다르다", 단측 검정은 "크다" 또는 "작다"를 대립가설로 둔다

scipy 예제

from scipy import stats

a = [502, 498, 505, 510, 495, 503, 507]
b = [490, 495, 488, 500, 493, 497, 491]
before = [70, 65, 80, 75, 68]
after  = [74, 70, 82, 79, 70]

# 단일표본: 평균이 500인가
t, p = stats.ttest_1samp(a, popmean=500)

# 등분산성 확인 후 독립표본
print(stats.levene(a, b))
t, p = stats.ttest_ind(a, b)                    # 등분산 가정(기본값 equal_var=True)
t, p = stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)   # Welch t-검정

# 대응표본: 교육 후 점수가 올랐는가(단측)
t, p = stats.ttest_rel(after, before, alternative="greater")

alternative는 "two-sided"(기본값), "less", "greater" 중 하나이다. 결과 객체의 statistic, pvalue 속성으로도 값을 꺼낼 수 있다.

시험 포인트

상황에 맞는 t-검정 종류 고르기(전후 비교 = 대응표본)
검정통계량과 자유도 계산, 합동분산 공식
실기 작업형 3유형에서 ttest_1samp·ttest_ind·ttest_rel로 통계량·p-값을 구하고 기각 여부를 판단하는 문제. equal_var와 alternative 인자에 주의한다

같이 보기

참고 문헌