자기상관 함수

Autocorrelation Function, ACF; 자기상관함수, 자기상관성 함수
시계열 데이터에서 시차(lag) k 만큼 떨어진 자기 자신의 값들 사이의 상관관계를 시차별로 나타낸 함수

시계열은 시간 순서로 관측되므로 오늘 값이 어제 값과 비슷하게 움직이는 경우가 많다. 이처럼 한 변수가 자기 자신의 과거 값과 상관되어 있는 성질을 자기상관(자기상관성)이라 하고, 그 크기를 시차 1, 2, 3, … 마다 계산해 늘어놓은 것이 자기상관 함수이다. 두 변수 사이의 상관을 보는 상관 분석을 한 시계열과 그 시차 이동본 사이에 적용한 것으로 볼 수 있다.

정의

정상 시계열 X_t 의 시차 k 자기상관계수는

ρ_{k} = \frac{C o v (X_{t}, X_{t - k})}{V a r (X_{t})}

관측된 시계열 x₁, …, x_n 에서는 표본 자기상관계수로 추정한다.

r_{k} = \frac{\sum_{t = k + 1}^{n} (x_{t} - \bar{x}) (x_{t - k} - \bar{x})}{\sum_{t = 1}^{n} (x_{t} - \bar{x})^{2}}

ρ₀ = 1 이다. 자기 자신과의 상관이기 때문이다
값의 범위는 −1 ~ 1 이고, 시차에 대해 대칭이다(ρ_k = ρ_−k)
분자가 공분산이므로 시차 k 에서의 공분산을 시차 0 의 분산으로 나눈 것이다

코렐로그램

시차를 가로축, r_k 를 세로축으로 막대를 그린 그림을 코렐로그램(correlogram, ACF 그림)이라 한다. 보통 ±1.96/√n 의 신뢰 한계를 함께 그려, 그 밖으로 나간 막대를 유의한 자기상관으로 본다.

코렐로그램 모양	해석
시차 1 이상에서 모두 신뢰 한계 안	백색잡음. 남은 자기상관이 없다
아주 천천히 줄어든다	추세가 있는 비정상 시계열. 차분이 필요하다
일정 간격(예: 12, 24)마다 크게 솟는다	계절성이 있다
어느 시차 뒤로 갑자기 0 근처로 떨어진다(절단)	MA 과정의 특징
지수 곡선이나 사인 곡선처럼 서서히 줄어든다(감소)	AR 과정의 특징

부분자기상관 함수와 비교

부분자기상관 함수(편자기상관 함수, Partial ACF, PACF)는 시차 k 의 상관에서 그 사이 시점(1, …, k−1)의 영향을 제거한 순수한 상관이다. ACF 는 중간 시점을 거쳐 이어진 간접 상관까지 모두 포함한다.

모형	ACF	PACF
AR(p)	서서히 감소	시차 p 이후 절단
MA(q)	시차 q 이후 절단	서서히 감소
ARMA(p, q)	서서히 감소	서서히 감소

AR 차수는 PACF 로, MA 차수는 ACF 로 정한다. 둘을 바꾸면 틀린다
이 두 그림으로 ARIMA 의 p, q 를 고르는 것이 박스-젠킨스 방법의 모형 식별 단계이다 → 자기 회귀 모델

쓰임

정상성 판단 : 정상 시계열은 ACF 가 비교적 빨리 0 으로 줄어들고, 비정상 시계열은 아주 천천히 줄어든다. 통계적 검정은 디키-풀러 테스트로 한다
모형 식별 : ACF·PACF 의 절단과 감소 모양으로 AR·MA·ARMA 와 차수를 고른다
잔차 진단 : 시계열 모형의 잔차는 백색잡음(평균 0, 분산 일정, 자기상관 0)이어야 한다. 잔차의 ACF 가 모두 신뢰 한계 안이면 모형이 시계열의 구조를 다 설명한 것이다. 여러 시차를 한꺼번에 검정할 때는 융-박스(Ljung-Box) 검정을 쓴다
회귀 잔차 점검 : 회귀 분석은 오차끼리 독립이라고 가정한다. 시간 순서 자료에서 잔차에 자기상관이 있으면 이 가정이 깨진다. 1차 자기상관은 더빈-왓슨(Durbin-Watson) 통계량으로 보며, 2 근처이면 자기상관이 없다고 본다

헷갈리는 개념

개념	무엇을 보는가
자기상관 함수	한 시계열과 자기 자신의 시차 이동본 사이의 상관
부분자기상관 함수	중간 시점의 영향을 뺀 시차 k 의 상관
교차상관 함수	서로 다른 두 시계열 사이의 시차별 상관
시계열 분해	시계열을 추세·계절·순환·불규칙 요인으로 나누는 기법. 상관을 계산하는 함수가 아니다
실루엣 계수	군집 분석의 결과가 얼마나 잘 나뉘었는지 재는 지표
회귀계수	회귀식에서 독립변수가 종속변수에 미치는 크기

자기상관성은 시계열 자료가 가진 성질로, 시계열 모형을 세우거나 잔차를 진단할 때 확인한다. 일반적인 지도 학습 모델을 고를 때 따지는 것은 데이터의 형태와 양, 분석 목적, 변수의 중요도 등이며, 자기상관성은 이런 모델 선정 기준이 아니다.

예제 코드

import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

rng = np.random.default_rng(0)
e = rng.normal(size=300)
x = np.zeros(300)
for t in range(1, 300):          # AR(1): x_t = 0.7 x_{t-1} + e_t
    x[t] = 0.7 * x[t - 1] + e[t]

print(acf(x, nlags=5))           # 0.7, 0.49, ... 처럼 서서히 감소
print(pacf(x, nlags=5))          # 시차 1 뒤로 0 근처(절단)
plot_acf(x, lags=20); plot_pacf(x, lags=20)
print(acorr_ljungbox(e, lags=[10]))   # 백색잡음이면 p-값이 크다

같이 보기

참고 문헌

Box, G. E. P., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C., & Ljung, G. M. (2015). Time Series Analysis: Forecasting and Control (5th ed.). Wiley.
Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice.