정다면체
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정다면체(正多面體, regular polyhedron)는 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같은 볼록 다면체로, 정4면체·정6면체·정8면체·정12면체·정20면체의 다섯 가지뿐이다.
고대 그리스의 플라톤이 우주의 원소와 연결해 설명했다고 해서 플라톤 입체라고도 한다. 한 꼭짓점에 모이는 면의 각을 모두 더하면 360° 보다 작아야 입체가 닫힌다. 그래서 정삼각형은 꼭짓점마다 3·4·5개, 정사각형은 3개, 정오각형은 3개까지만 모일 수 있고, 정육각형 이상은 3개만 모여도 360° 가 되어 입체를 만들 수 없다. 이 때문에 정다면체는 다섯 가지밖에 없다.
| 정다면체 | 면의 모양 | 면 | 모서리 | 꼭짓점 | 한 꼭짓점에 모이는 면 |
|---|---|---|---|---|---|
| 정4면체 | 정삼각형 | 4 | 6 | 4 | 3 |
| 정6면체(정육면체) | 정사각형 | 6 | 12 | 8 | 3 |
| 정8면체 | 정삼각형 | 8 | 12 | 6 | 4 |
| 정12면체 | 정오각형 | 12 | 30 | 20 | 3 |
| 정20면체 | 정삼각형 | 20 | 30 | 12 | 5 |
- 한 면의 형태가 정오각형인 것은 정12면체뿐이다. 정4면체·정8면체·정20면체는 정삼각형, 정6면체는 정사각형이다
- 모든 볼록 다면체는 오일러의 공식 꼭짓점 - 모서리 + 면 = 2 를 만족한다. 정12면체는 20 - 30 + 12 = 2 다
- 정6면체와 정8면체, 정12면체와 정20면체는 면의 수와 꼭짓점 수가 서로 바뀐 짝(쌍대)이다. 정4면체는 자기 자신과 짝이다
- 디자인·제도 - 입체 구성, 조명 갓·포장 상자의 전개도
- 주사위 - 정4·6·8·12·20면체 주사위
- 3차원 그래픽스 - 구를 근사할 때 정20면체를 잘게 나눈 측지 다면체를 쓴다 → 3차원 컴퓨터 그래픽스