최대 전력 전달 정리

최대 전력 전달 정리(maximum power transfer theorem)는 내부 저항이 있는 전원이 부하에 가장 큰 전력을 넘겨주는 조건이 부하 저항을 전원의 내부 저항(테브난 저항)과 같게 할 때라는 회로 정리이다.

개요

부하 저항 R_L 을 키우면 전류가 줄고, 줄이면 부하 양단 전압이 줄어서, 부하 전력 P = I²R_L 은 그 사이 어딘가에서 가장 커진다. 회로가 복잡해도 부하 단자에서 본 나머지 회로를 테브난 등가 회로(전압원 V_th 와 직렬 저항 R_th)로 바꾸면 같은 식으로 풀 수 있다.

조건과 최대 전력

테브난 등가 회로에 부하 R_L 을 이으면

$P_L={\left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_L}\right)}^2{R}_L$

이고, R_L 로 미분해 0 이 되는 점을 찾으면

$R_L=R_{th},P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}$

• 이때 부하 전압은 V_th/2 이고, 전원이 낸 전력의 절반이 내부 저항에서 열로 사라진다. 그래서 효율은 50% 다. 최대 전력 전달이 최대 효율을 뜻하지 않는다
• 송배전처럼 효율이 중요한 곳은 부하를 내부 저항보다 훨씬 크게 두고, 통신·오디오처럼 약한 신호의 전력을 최대로 받아야 하는 곳에서 정합을 맞춘다

교류에서 (켤레 정합)

내부 임피던스가 Z_S = R_S + jX_S 이면 부하를 켤레 복소수 Z_L = R_S - jX_S 로 두어 리액턴스를 상쇄할 때 최대 전력이 전달된다 → 임피던스

• 부하를 마음대로 정할 수 없을 때는 변압기로 정합한다. 1 : n 변압기의 2차에 R_L 을 달면 1차에서 R_L/n² 로 보이므로 R_L/n² = R_S 가 되게 n 을 고른다

계산 예

30V 전원에 10Ω 이 직렬로 있고, 그 뒤에 10Ω 과 부하 R_L 이 병렬로 붙은 회로

1. R_L 을 떼고 단자 전압을 구한다: 10Ω 두 개의 분압이라 V_th = 30 × 10/(10 + 10) = 15V
2. 전압원을 단락하고 단자에서 본 저항: R_th = 10 ∥ 10 = 5Ω
3. 최대 전력 조건 R_L = 5Ω, P_max = 15² / (4 × 5) = 225/20 = 11.25W

• 병렬 10Ω 을 빼고 R_th = 10Ω, V_th = 30V 로 보면 22.5W 가 되어 틀린다. 부하 단자에서 본 등가 회로를 먼저 만든다

같이 보기

• 테브난 정리
• 변압기
• 임피던스
• 전력
• 전기 저항