페이저

페이저(phasor)는 주파수가 같은 정현파 전압·전류를 크기(실효값 또는 최댓값)와 위상만 가진 복소수로 나타낸 것으로, 교류 회로의 미분·적분 계산을 복소수의 곱셈·나눗셈으로 바꿔 준다.

개요

정현파 v(t) = V_m cos(ωt + θ) 는 오일러 공식으로 Re{V_me^jθe^jωt} 로 쓸 수 있다. 한 회로 안에서는 모든 전압·전류의 각주파수 ω 가 같으므로 e^jωt 를 빼고 V_me^jθ 만 들고 다녀도 정보가 줄지 않는다. 이 복소수를 페이저라 하고, 복소 평면 위의 화살표(벡터)로 그리기도 해서 '벡터 표시'라고도 한다. 1893년 찰스 스타인메츠가 교류 회로 해석에 도입했다.

표시 방법

형식	쓰는 법	쓰임
직각좌표 형식	I = a + jb (a 실수부, b 허수부)	덧셈·뺄셈이 쉽다
극좌표 형식	I\|∠θ	곱셈·나눗셈이 쉽다
지수 형식	I\|e^jθ	극좌표 형식과 같다

직각좌표 형식에서 크기와 위상은

| I | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, θ = \tan^{- 1} \frac{b}{a}

예: I = 6 + j8 [A] 이면 크기는 √(6² + 8²) = √100 = 10A, 위상은 tan^-1(8/6) ≈ 53.1° 다. 실수부와 허수부를 그대로 더한 14A 나 곱한 값이 아니다
거꾸로 10∠53.1° 는 10cos53.1° + j10sin53.1° ≈ 6 + j8 이다
j 는 √(-1) 이다. 전기에서는 전류 기호 i 와 헷갈리지 않게 j 를 쓴다

회로 계산

곱셈은 크기를 곱하고 위상을 더한다: (A∠α)(B∠β) = AB∠(α + β)
나눗셈은 크기를 나누고 위상을 뺀다
j 를 곱하는 것은 90° 앞서게, -j 를 곱하는 것은 90° 늦추는 것이다. 그래서 인덕터 전압은 전류보다 90° 앞서고(jωL), 커패시터 전류는 전압보다 90° 앞선다(jωC)
옴의 법칙이 페이저로 V = Z·I 가 되어, 저항 회로처럼 직렬·병렬 합성과 키르히호프의 법칙을 그대로 쓴다 → 임피던스
페이저의 크기를 실효값으로 잡으면 계측기가 보여 주는 값과 바로 맞는다 → 실효값

같이 보기